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          共50条信息

            • 1．
              设\(i\)为虚数单位，\(n\)为正整数，\(θ∈[0,2π)\)．
              \((1)\)用数学归纳法证明：\((\cos θ+i\sin θ)^{n}=\cos nθ+i\sin nθ\)；
              \((2)\)已知\(z= \sqrt {3}-i\)，试利用\((1)\)的结论计算\(z^{10}\)．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
              f(b)-f(a)
              b-a
              ．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
              f(x1)-f(x2)
              x1-x2
              (x-x1)+f(x1)              ，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 3． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 4． 记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中n∈N*．
              （1）求an；
              （2）是否存在常数p，q（p＜q），使bn=（1+）（1+） 对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．
              难度：较难
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            • 5． 已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=a_{2}=a_{3}=k\)，\(a_{n+1}= \dfrac {k+a_{n}a_{n-1}}{a_{n-2}}(n\geqslant 3,n∈N^{*})\)，其中\(k > 0\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(b_{n}= \dfrac {a_{n}+a_{n+2}}{a_{n+1}}(n=1,2,3,4,…)\)
              \((1)\)求\(b_{1}\)、\(b_{2}\)、\(b_{3}\)、\(b_{4}\)；
              \((2)\)求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)是否存在正数\(k\)，使得数列\(\{a_{n}\}\)的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的\(k\)．
              难度：较难
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            • 6．

              在数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=4\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(nS_{n+1}-(n+3)S_{n}=0\)，\(2a_{n+1}\)为\(b_{n}\)与\(b_{n+1}\)的等比中项，\(n∈N*\)

              \((1)\)求\(a_{2}\)，\(b_{2}\)的值；

              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

              \((3)\)设\({{T}_{n}}={{(-1)}^{{{a}_{1}}}}{{b}_{1}}+{{(-1)}^{{{a}_{2}}}}{{b}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{(-1)}^{{{a}_{n}}}}{{b}_{n}}\)，\(n∈N*\)，证明\(|T_{n}| < 2n^{2}\)，\(n\geqslant 3\)．

              难度：较难
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=\ln (x+1)+mx\)，当\(x=0\)时，函数\(f(x)\)取得极大值．
              \((1)\)求实数\(m\)的值；
              \((2)\)已知结论：若函数\(f(x)=\ln (x+1)+mx\)在区间\((a,b)\)内导数都存在，且\(a > -1\)，则存在\(x_{0}∈(a,b)\)，使得\(f′(x_{0})= \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}.\)试用这个结论证明：若\(-1 < x_{1} < x_{2}\)，函数\(g(x)= \dfrac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}(x-x_{1})+f(x_{1})\)，则对任意\(x∈(x_{1},x_{2})\)，都有\(f(x) > g(x)\)；
              \((3)\)已知正数\(λ_{1}\)，\(λ_{2}\)，\(…\)，\(λ_{n}\)，满足\(λ_{1}+λ_{2}+…+λ_{n}=1\)，求证：当\(n\geqslant 2\)，\(n∈N\)时，对任意大于\(-1\)，且互不相等的实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(…\)，\(x_{n}\)，都有\(f(λ_{1}x_{1}+λ_{2}x_{2}+…+λ_{n}x_{n}) > λ_{1}f(x_{1})+λ_{2}f(x_{2})+…+λ_{n}f(x_{n}).\)
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            • 8．
              记\((1+ \dfrac {x}{2})(1+ \dfrac {x}{2^{2}})…(1+ \dfrac {x}{2^{n}})\)的展开式中，\(x\)的系数为\(a_{n}\)，\(x^{2}\)的系数为\(b_{n}\)，其中\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)求\(a_{n}\)；
              \((2)\)是否存在常数\(p\)，\(q(p < q)\)，使\(b_{n}= \dfrac {1}{3}(1+ \dfrac {p}{2^{n}})(1+ \dfrac {q}{2^{n}})\) 对\(n∈N^{*}\)，\(n\geqslant 2\)恒成立？证明你的结论．
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            • 9． 已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（a∈R）．
              （Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
              （Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
              x≥0
              x-y≥0
              ，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
              （Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
              1
              2
              时，[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N+）．
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            • 10． 数列{an}满足a1=
              1
              2
              ，an+1=
              1
              2-an
              （n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
              n+2
              2
              ；
              （III）证明：
              n
              2
              -(
              a12
              a1+a2
              +
              a22
              a2+a3
              +…+
              an2
              an+a1
              )＜ln
              		n+1
              ．
              难度：较难
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