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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1．
              （Ⅰ）求a2，a3，a4，a5；
              （Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．
              难度：较难
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            • 2． 已知数列an满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9（n∈N*）
              （1）求a1，a2，a3，a4的值；
              （2）由（1）猜想an的通项公式，并给出证明．
              难度：较难
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=a\)，\(a_{n+1}= \dfrac {1}{2-a_{n}}(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
              \((2)\)猜测数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明．
              难度：较难
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            • 4．
              已知数列\(a_{n}\)满足\(a_{1}=1\)，且\(4a_{n+1}-a_{n}a_{n+1}+2a_{n}=9(n∈N^{*})\)
              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值；
              \((2)\)由\((1)\)猜想\(a_{n}\)的通项公式，并给出证明．
              难度：较难
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            • 5．
              用数学归纳法证明不等式“\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{2^{n}-1} < n(n∈N^{*},n\geqslant 2)\)”时，由\(n=k(k\geqslant 2)\)不等式成立，推证\(n=k+1\)时，左边应增加的项数是\((\)　　\()\)
              A．\(2^{k-1}\)
              B．\(2^{k}-1\)
              C．\(2^{k}\)
              D．\(2^{k}+1\)
              难度：较难
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)猜想\(a_{n}\)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
              难度：较难
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            • 7． 设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*都有Sn=2an-n，
              （1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
              （2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明；
              （3）求证：对任意n∈N*都有
              1
              a2-a1
              +
              1
              a3-a2
              +
              1
              a4-a3
              +…+
              1
              an+1-an
              ＜1              ．
              难度：较难
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            • 8． 用数学归纳法证明：
              1
              n+1
              +
              1
              n+2
              +…+
              1
              3n+1
              ＞
              25
              24
              ．（n=1，2，3…）
              难度：较难
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            • 9． 已知a1=（n∈N*）
              （1）求a2，a3，a4并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；
              （2）用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：较难
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            • 10． 定义数列如下：a1=2，an+1=an2-an+1，n∈N*，求证：
              （Ⅰ）对于n∈N*恒有an+1＞an成立；
              （Ⅱ）1-
              1
              22015
              ＜
              1
              a1
              +
              1
              a2
              +…+
              1
              a2015
              ＜1．
              难度：较难
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