已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

设\(f(k)\)是定义在正整数集上的函数，满足“只要\(f(k)\geqslant k^{2}\)成立就能推出\(f(k+1)\geqslant (k+1)^{2}\)成立”，则下列命题总成立的是  \((\)    \()\)

若命题\(P(k)\)是\( \dfrac{1+{a}^{2}+{a}^{4}+⋯+{a}^{2k}}{a+{a}^{3}+⋯+{a}^{2k-1}} > \dfrac{k+1}{k}\left(a > 0,a\neq 1,k∈{N}^{*}\right) \)，则命题\(P(k+1)\)是________．

一种计算装置，有一数据入口\(A\)和一个运算出口\(B\)，按照某种运算程序：

\(①\)当从入口\(A\)输入自然数\(1\)时，从出口\(B\)得到\(\dfrac{{1}}{{3}}\)，记为\(f(1)=\dfrac{1}{3}\)；

\(②\)当从入口\(A\)输入自然数\(n(n\geqslant 2)\)时，在出口\(B\)得到的结果\(f(n)\)是前一个结果\(f(n-1)\)的\(\dfrac{{2}(n-{1})-{1}}{{2}(n-{1})+{3}}\)倍\(.\)

当从入口\(A\)分别输入自然数\(2\)，\(3\)，\(4\)时，从出口\(B\)分别得到什么结果？试猜想\(f(n)\)的表达式，并证明你的结论．

设数列\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，\(…\)中的每一项都不为\(0.\)求证\(\{a_{n}\}\)为等差数列的充分必要条件是：对任何\(n∈N^{*}\)，都有\(\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}=\dfrac{n}{{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}}\)

用数学归纳法证明“当\(n\)为正奇数时，\(x^{n}+y^{n}\)能被\(x+y\)整除”，第二步归纳假设应写成\((\)　　\()\)

用数学归纳法证明等式\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}·1·3·…·(2n-1)\)，第二步从\(n=k\)时到\(n=k+1\)时左端应增乘的代数式是  \((\)    \()\)

已知\({{a}_{n}}=3\times {{2}^{n}}-2n-3\)，\({{b}_{n}}=3\times {{2}^{n}}-2\)，试比较\(2{{a}_{n}}\)与\({{b}_{n}}\)的大小，并证明你的结论。