若命题\(P(k)\)是\( \dfrac{1+{a}^{2}+{a}^{4}+⋯+{a}^{2k}}{a+{a}^{3}+⋯+{a}^{2k-1}} > \dfrac{k+1}{k}\left(a > 0,a\neq 1,k∈{N}^{*}\right) \)，则命题\(P(k+1)\)是________．

\((1)\) 某物体其运动方程为\(s{=}2t^{3}\)，则物体在第\(t{=}3\)秒时的瞬时速度是______ ．

\((2)\)    函数\(f(x)\)的图象在\(x{=}2\)处的切线方程为\(2x{+}y{-}3{=}0\)，则

\((3)\)    如果\(f(n){=}1{+}\dfrac{1}{2}{+}\dfrac{1}{3}{+…+}\dfrac{1}{n}{+}\dfrac{1}{n{+}1}{…+}\dfrac{1}{2^{n}}(n{∈}N^{{*}})\)，那么\(f(k{+}1){-}f(k)\)共有______项\({.}\)

\((4)\)    若直线\(y{=}{kx}{+}b\)是曲线\(y{=}\ln x{+}1\)的切线，也是曲线\(y{=}\ln(x{+}2)\)的切线，则\(b{=}\) ______

在数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=\dfrac{1}{2},\)且\({{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{2-{{a}_{n}}}(n\in {{N}^{*}})\)，设数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项积为\({{T}_{n}}\)，则\({{T}_{100}}=\)____________．

已知\(f\left(n\right)=1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+⋯+ \dfrac{1}{n}\left(n∈{N}^{*}\right) \)，用数学归纳法证明\(f\left({2}^{n}\right) > \dfrac{n}{2} \)时，\(f\left({2}^{k+1}\right)-f\left({2}^{k}\right) \)等于_____．

用数学归纳法证明\(2^{n+1}\geqslant n^{2}+n+2(n∈N^{*})\)时，第一步应验证________．

\((1)\)用数学归纳法证明\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n\) \((n\in {{N}_{+}}{ },{ }n > 1)\)时，第一步应验证的不等式是______________．

\((2)\int_{-1}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}=\)__________．

\((3)\)在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{8}=4\)，函数\(f(x)=x(x-a_{1})·(x-a_{2})…(x-a_{8})\)，则\(f′(0)=\)________．

\((4)\)已知函数\(f(x)=e^{x}\)，\(g(x)=\ln \dfrac{x}{2}+ \dfrac{1}{2}\)的图象分别与直线\(y=m\)交于\(A\)，\(B\)两点，则\(|AB|\)的最小值为____ ．

\((1)\)函数\(y=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sin x}\)的导数是________________．

\((2)\)函数\(y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+{{a}^{2}},\)在\(x=1\)时有极值\(10\)，那么\(a,b\)的值分别为_______

\((3)\)用数学归纳法证明\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}⋅1⋅3⋅…⋅(2n-1)(n∈N)\)时，从“\(k\)”到“\(k+1\)”的证明，左边需增添的代数式是_____．

\((4)\)设\({{x}^{3}}+ax+b=0\)，其中\(a,b\)均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______\((\)写出所有正确条件的编号\()\)

\((1)a=-3,b=-3\)；\((2)a=-3,b=2\)；\((3)a=-3,b > 2\)；\((4)a=0,b=2;\)

\((1)\)\(n\)为正奇数时，求证：\(x^{n}\)\(+\)\(y^{n}\)被\(x\)\(+\)\(y\)整除，当第二步假设\(n\)\(=2\)\(k\)\(-1\)命题为真时，进而需证\(n\)\(=\)________，命题为真．

\((2)\)动圆\(M\)过点\(F(0,2)\)且与直线\(y\)\(=-2\)相切，则圆心\(M\)的轨迹方程是             ．

\((3)4\)个平面最多可将平面分割成           个部分。

\((4)\)现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理\((\)图\(1)\)，即可求得球的体积公式\(.\)请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕\(y\)轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体\((\)图\(2)\)，其体积等于______．