已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

当\(n\in {{N}^{*}}\)时，\({{S}_{n}}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}\)，\({{T}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{1}{2n}\)，

\((\)Ⅰ\()\)求\({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{T}_{1}},{{T}_{2}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)猜想\({{S}_{n}}\)与\({{T}_{n}}\)的关系，并用数学归纳法证明．

用数学归纳法证明\(\dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯+ \dfrac{1}{3n}\geqslant \dfrac{5}{6} \)时，从\(n=k\)到\(n=k+1\)，不等式左边需添加的项是\((\)    \()\)

设\(f(k)\)是定义在正整数集上的函数，满足“只要\(f(k)\geqslant k^{2}\)成立就能推出\(f(k+1)\geqslant (k+1)^{2}\)成立”，则下列命题总成立的是  \((\)    \()\)

若命题\(P(k)\)是\( \dfrac{1+{a}^{2}+{a}^{4}+⋯+{a}^{2k}}{a+{a}^{3}+⋯+{a}^{2k-1}} > \dfrac{k+1}{k}\left(a > 0,a\neq 1,k∈{N}^{*}\right) \)，则命题\(P(k+1)\)是________．

用数学归纳法证明：

\({{1}^{2}}-{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-{{4}^{2}}+\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\cdot {{n}^{2}}={{(-1)}^{n-1}}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}(n\in {{N}_{+}})\)．

一种计算装置，有一数据入口\(A\)和一个运算出口\(B\)，按照某种运算程序：

\(①\)当从入口\(A\)输入自然数\(1\)时，从出口\(B\)得到\(\dfrac{{1}}{{3}}\)，记为\(f(1)=\dfrac{1}{3}\)；

\(②\)当从入口\(A\)输入自然数\(n(n\geqslant 2)\)时，在出口\(B\)得到的结果\(f(n)\)是前一个结果\(f(n-1)\)的\(\dfrac{{2}(n-{1})-{1}}{{2}(n-{1})+{3}}\)倍\(.\)

当从入口\(A\)分别输入自然数\(2\)，\(3\)，\(4\)时，从出口\(B\)分别得到什么结果？试猜想\(f(n)\)的表达式，并证明你的结论．

设数列\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，\(…\)中的每一项都不为\(0.\)求证\(\{a_{n}\}\)为等差数列的充分必要条件是：对任何\(n∈N^{*}\)，都有\(\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}=\dfrac{n}{{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}}\)

用数学归纳法证明“当\(n\)为正奇数时，\(x^{n}+y^{n}\)能被\(x+y\)整除”，第二步归纳假设应写成\((\)　　\()\)