知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)=x^{2}+ax-\ln x$，$a∈R$．
$(1)$若函数$f(x)$在$[1,2]$上是减函数，求实数$a$的取值范围；
$(2)$令$g(x)=f(x)-x^{2}$，是否存在实数$a$，当$x∈(0,e](e$是自然常数$)$时，函数$g(x)$的最小值是$3$，若存在，求出$a$的值；若不存在，说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮
2．
设函数$f(x)=x+ \dfrac {1}{x}+a$为定义在$(-∞,0)∪(0,+∞)$上的奇函数．
$(1)$求实数$a$的值；
$(2)$判断函数$f(x)$在区间$(a+1,+∞)$上的单调性，并用定义法证明．

难度：难

解析收藏试题篮
3．
已知函数$f(x)=\ln x+x^{2}-2ax+1(a$为常数$)$．
$(1)$讨论函数$f(x)$的单调性；
$(2)$若存在$x_{0}∈(0,1]$，使得对任意的$a∈(-2,0]$，不等式$2me^{a}(a+1)+f(x_{0}) > a^{2}+2a+4($其中$e$为自然对数的底数$)$都成立，求实数$m$的取值范围．

难度：难

解析收藏试题篮
4．
已知函数$fx)= \dfrac {2^{x}+a-2}{2^{x}+1}(x∈R)$，若满足$f(1)= \dfrac {1}{3}$
$(1)$求实数$a$的值；
$(2)$证明：$f(x)$为奇函数．
$(3)$判断并证明函数$f(x)$的单调性．

难度：难

解析收藏试题篮
5．
已知$a\geqslant 0$，函数$f(x)=(x^{2}-2ax)e^{x}$．
$($Ⅰ$)$当$x$为何值时，$f(x)$取得最小值？证明你的结论；
$($Ⅱ$)$设$f(x)$在$[-1,1]$上是单调函数，求$a$的取值范围．

难度：难

解析收藏试题篮
6．求证：函数 $f%28x%29%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D-1$ 在区间（0，+∞）上是增函数．

难度：难

解析收藏试题篮
7．对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）-（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐近函数”
（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%2B2x%2B3%7D%7Bx%2B1%7D$ ，x∈[0，+∞）的渐近函数，并求此时实数p的值；
（2）若函数f（x）= $%20%5Csqrt%20%7Bx%5E%7B2%7D%2B1%7D$ ，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，求实数a的值，并说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮
8．已知函数f（x）=1+ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%7D$ ，且f（1）=2，
（1）求m的值；
（2）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

难度：难

解析收藏试题篮
9．设函数f_n(θ)=sinⁿθ+(-1)ⁿcosⁿθ，0 $%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%20%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D$ ，其中n为正整数．
(1)判断函数f₁(θ)、f₃(θ)的单调性，并就f₁(θ)的情形证明你的结论；
(2)证明：2f₆(θ)-f₄(θ)=(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ)；
(3)对于任意给定的正奇数n，求函数f_n(θ)的最大值和最小值．

难度：难

解析收藏试题篮
10．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数．当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28a%29%2Bf%28b%29%7D%7Ba%2Bb%7D%3E0$ 成立．
(Ⅰ)判断函f(x)的单调性，并证明；
(Ⅱ)若f(1)=1，且f(x)≤m²-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷