知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=m-|x-1|\)，\(m∈R\)，且\(f(x+2)+f(x-2)\geqslant 0\)的解集为\([-2,4]\)．
\((1)\)求\(m\)的值；
\((2)\)若\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{2b}+ \dfrac {1}{3c}=m\)，求证\(a+2b+3c\geqslant 3\)．

难度：难

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2．
已知函数\(f(x)=|x+3|+|x-1|\)的最小值为\(m\)．
\((1)\)求\(m\)的值；
\((2)\)若\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a+b=m\)，求证\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {4}{b}\geqslant \dfrac {9}{4}\)．

难度：难

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3．

已知函数\(f\left( x \right)={\ln }x-{{x}^{2}}+ax\)．

\((1)\)若\(f\left( 1 \right)=0\)，求函数\(f\left( x \right)\)的单调递减区间；

\((2)\)证明当\(n\geqslant 2\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)时，\(\dfrac{1}{\ln 2}+\dfrac{1}{\ln 3}+\dfrac{1}{\ln 4}+\cdots +\dfrac{1}{\ln n} > 1-\dfrac{1}{n}\)；

\((3)\)若关于\(x\)的不等式\(f\left( x \right)\leqslant \left( \dfrac{1}{2}a-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2a-1 \right)x-1\)恒成立，求整数\(a\)的最小值．

难度：难

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4．
已知\(a > 0,b > 0,{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=2\)，证明：

\((1)(a+b)(a^{5}+b^{5})\geqslant 4\)；\((2)a+b\leqslant 2\)．

难度：难

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5．已知函数\(y=x+ \dfrac {2}{x-1}\)，\(x∈(1,+∞)\)，则\(y\)的最小值是______．

难度：难

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6．

已知函数\(f(x)=a\ln x+x^{2}(a\)为实常数\()\)．

\((1)\)当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值及相应的\(x\)值；

\((2)\)当\(x∈[1,e]\)时，讨论方程\(f(x)=0\)根的个数．

\((3)\)若\(a > 0\)，且对任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,e]\)，都有\(|f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})|\leqslant \left| \dfrac{1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{1}{{{x}_{2}}} \right|\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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7．

已知函数\(f(x)=a\ln x+x^{2}(a\)为实常数\()\)．

\((1)\)当\(a=-4\)时，求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最大值及相应的\(x\)值；

\((2)\)当\(x∈[1,e]\)时，讨论方程\(f(x)=0\)根的个数．

\((3)\)若\(a > 0\)，且对任意的\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,e]\)，都有\(|f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})|\leqslant \left| \dfrac{1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{1}{{{x}_{2}}} \right|\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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8．

如图，在四面体\({D-ABC}\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(DA⊥\)平面\(ABC\)，\(AE⊥DB\)交\(DB\)于\(E\)，\(AF⊥DC\)交\(DC\)于\(F\)，且\(AD=AB=2\)．

\((\)Ⅰ\()\)若\(AC=BC\)，求直线\(AE\)与平面\(BCD\)所成的角的余弦值；

\((\)Ⅱ\()\)当\(AF\)的长度为何值时，三棱锥\(D-AEF\)体积为最大．

难度：难

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9．已知不等式 \(x\)\({\,\!}^{2}-5\) \(ax\)\(+\) \(b\)\( > 0\)的解集为\(\{ \)\(x\)\(|\) \(x\)\( > 4\)或 \(x\)\( < 1\}\)
\((1)\)求实数 \(a\)， \(b\)的值；

\((2)\)若\(0 < \)\(x\)\( < 1\)，\(f\)\((\)\(x\)\()= \dfrac{a}{x}+ \dfrac{b}{1-x} \)，求\(f\)\((\)\(x\)\()\)的最小值．

难度：难

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10．已知： \(a\)\( > 0\)， \(b\)\( > 0\)， \(a\)\(+4\) \(b\)\(=4\)
\((1)\)求 \(ab\)的最大值；
\((2)\)求\(+\)的最小值．

难度：难

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