知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．
（1）若α=120°，r=6，求扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．

难度：难

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3．在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAM%7D$ =x $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BAN%7D$ =y $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ （x，y≠0），则4x+y的最小值是 ______ ．

难度：难

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4．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%283%EF%BC%8C2%29%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%28x%EF%BC%8C1-y%29$ 且 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%E2%88%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，若x，y均为正数，则 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7By%7D$ 的最小值是（　　）

A．24

B．8

C． $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B3%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$

难度：难

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5．已知x，y∈R且2^x+2^y=1，则x+y的取值范围为 ______ ．

难度：难

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6．已知x，y∈（0，+∞），x²+y²=x+y．
（1）求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By%7D$ 的最小值；
（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．

难度：难

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7．设实数x、y满足4x²-2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ xy+4y²=13，则x²+4y²的取值范围是 ______ ．

难度：难

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8．设x，y满足约束条件 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%203x-y-6%E2%89%A40%20%5C%5C%20x-y%2B2%E2%89%A50%20%5C%5C%20x%E2%89%A50%EF%BC%8Cy%E2%89%A50%5Cend%7Bcases%7D$ ，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若z的最大值为12，求 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Bb%7D$ 的最小值．
（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a²+b²+2（b-a）的取值范围．

难度：难

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9．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（m，1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（4-n，2），m＞0，n＞0，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ∥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7Bn%7D$ 的最小值 ______ ．

难度：难

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10．已知函数 $f%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D%2Balnx%28x%3E0%29$ ，f(x)的导函数是f′(x)．对任意两个不相等的正数x₁、x₂，证明：
(Ⅰ)当a≤0时， $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%7D%7B2%7D%3Ef%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ；
(Ⅱ)当a≤4时，|f′(x₁)-f′(x₂)|＞|x₁-x₂|．

难度：难

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