知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．
（1）若α=120°，r=6，求扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．

难度：难

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2．已知x，y∈（0，+∞），x²+y²=x+y．
（1）求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By%7D$ 的最小值；
（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．

难度：难

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3．设x，y满足约束条件 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%203x-y-6%E2%89%A40%20%5C%5C%20x-y%2B2%E2%89%A50%20%5C%5C%20x%E2%89%A50%EF%BC%8Cy%E2%89%A50%5Cend%7Bcases%7D$ ，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若z的最大值为12，求 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Bb%7D$ 的最小值．
（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a²+b²+2（b-a）的取值范围．

难度：难

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4．已知：a＞0，b＞0，a+4b=4
（1）求ab的最大值；
（2）求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bb%7D$ 的最小值．

难度：难

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5．已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2n%7D$ =a（m＞0，n＞0），求mn的最小值．

难度：难

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6．已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．

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7．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，
证明：（1）ab+bc+ca≤ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ；
（2） $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bb%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Bc%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bc%5E%7B2%7D%7D%7Ba%7D$ ≥1．

难度：难

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8．已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有 $%7Cf%28x_%7B1%7D%29-f%28x_%7B2%7D%29%7C%E2%89%A4%7C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7B1%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx_%7B2%7D%7D%7C$ ，求实数a的取值范围．

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9．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
（1）△AOB面积最小时l的方程；
（2）|PA||PB|最小时l的方程．

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10．已知函数 $f%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D%2Balnx%28x%3E0%29$ ，f(x)的导函数是f′(x)．对任意两个不相等的正数x₁、x₂，证明：
(Ⅰ)当a≤0时， $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%7D%7B2%7D%3Ef%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ；
(Ⅱ)当a≤4时，|f′(x₁)-f′(x₂)|＞|x₁-x₂|．

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