知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知函数\(f(x)= \begin{cases} x^{2}-x+3,x\leqslant 1 \\ x+ \dfrac {2}{x},x > 1\end{cases}\)，设\(a∈R\)，若关于\(x\)的不等式\(f(x)\geqslant | \dfrac {x}{2}+a|\)在\(R\)上恒成立，则\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\([- \dfrac {47}{16},2]\)

B．\([- \dfrac {47}{16}, \dfrac {39}{16}]\)

C．\([-2 \sqrt {3},2]\)

D．\([-2 \sqrt {3}, \dfrac {39}{16}]\)

难度：难

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2．
已知\(x\)，\(y\)均为正实数，且\(x+y=16\)，则\( \dfrac {xy}{9x+y}\)的最大值为 ______ ．

难度：难

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3．
\((1)\)函数\(f(x)=|x-3|\)，若存在实数\(x\)，使得\(2f(x+4)\leqslant m+f(x-1)\)成立，求实数\(m\)的取值范围；
\((2)\)设\(x\)，\(y\)，\(z∈R\)，若\(x+2y-2z=4\)，求\(x^{2}+4y^{2}+z^{2}\)的最小值．

难度：难

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4．

设\(0 < x < 1\)，函数\(y=\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{1-x}\)的最小值为\((\) \()\)

A．\(\dfrac{{27}}{{2}}\)

B．\(9\)

C．\(10\)

D．\(8\)

难度：难

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5．

已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，函数\(f\left( x \right)=\left| x-a \right|+\left| x+b \right|\)的最小值为\(2\)．

\((1)\)求\(a+b\)的值；\((2)\)证明：\({{a}^{2}}+a > 2\)与\({{b}^{2}}+b > 2\)不可能同时成立．

难度：难

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6．
证明下列不等式：

\((1)\)当\(a > 2 \)时，求证：\( \sqrt{a+2}+ \sqrt{a-2} < 2 \sqrt{a} \)；

\((2)\)设\(a > 0\)，\(b > 0\)，若\(a+b-ab=0 \)，求证：\(a+b⩾4 \)．

难度：难

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7．
已知关于\(x\)的不等式\(\left| x+1 \right|+\left| 2x-1 \right|\leqslant 3\)的解集为\(\left\{ x\left| m\leqslant x\leqslant n \right. \right\}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求实数\(m,n\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)设\(a,b,c\)均为正数，且\(a+b+c=n-m\)，求\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)的最小值．

难度：难

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8．
在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(\sin \left( \dfrac{3}{2}B+\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，且\(a+c=2\)，则\(\triangle ABC\)周长的取值范围是_______．

难度：难

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9．
\((1)\)已知函数\(f(x)=\sqrt{|x-2|+|x+a|-3}\)的定义域为\(R\)，求实数\(a\)的取值范围；

\((2)\)若正实数\(m\)，\(n\)满足\(m+n=2\)，求\(\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}\)的取值范围．

难度：难

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10．

已知\(f\left(x\right)=2\left|x-2\right|+\left|x+1\right| \)

\((\)Ⅰ\()\)求不等式\(f\left(x\right) < 6 \)的解集；

\((\)Ⅱ\()\)设\(m\)，\(n\)，\(p\)为正实数，且\(m+n+p=f\left(2\right) \)，求证：\(mn+np+pm\leqslant 3 \)．

难度：难

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