知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1)$．
$(I)$当$a=4$时，求曲线$y=f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程；
$(II)$若当$x∈(1,+∞)$时，$f(x) > 0$，求$a$的取值范围．

难度：难

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2．
求下列函数的导数
$(1)y=x(x- \dfrac {1}{x^{2}})$
$(2)y= \dfrac {\cos x-x}{x^{2}}$．

难度：难

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3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³+ax（a∈R），且曲线f（x）在x= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 处的切线与直线y=- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ x-1平行．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[-3， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ]上有三个零点，求实数m的取值范围．

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4．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：难

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5．已知曲线C：y=x³+5x²+3x
（1）求曲线C导函数．
（2）求曲线C在x=1处的切线方程．

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6．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求f′（2）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

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7．已知函数f（x）=2x³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象（如图所示）经过点（1，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0恰有2个根，求m的值．

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8．已知f（x）=x²+ax+b，g（x）=x²+cx+d，且f（2x+1）=4g（x），f′（x）=g′（x），f（5）=30，求a，b，c，d的值．

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9．分别求下列函数的导数：
（1）y=e^x•cos x；
（2）y=x（x²+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%5E%7B3%7D%7D$ ）
（3）y=ln $%20%5Csqrt%20%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D$ ．

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10．已知函数f（x）=xlnx+ax²-3，且f'（1）=-1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-3，求m的最小值；
（3）证明：函数y=f（x）-xe^x+x²的图象在直线y=-2x-3的下方．

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