知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知\(f(x)=a\ln x+ \dfrac {1}{2}x^{2}(a > 0)\)，若对任意两个不等的正实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，都有\( \dfrac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} > 2\)恒成立，则\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((0,1]\)

B．\((1,+∞)\)

C．\((0,1)\)

D．\([1,+∞)\)

难度：难

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2．
设函数\(f(x)=xe^{x}-ax(a∈R,a\)为常数\()\)，\(e\)为自然对数的底数．
\((\)Ⅰ\()\)当\(f(x) > 0\)时，求实数\(x\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a=2\)时，求使得\(f(x)+k > 0\)成立的最小正整数\(k\)．

难度：难

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3．
设函数\(f(x)=(mx+n)\ln x.\)若曲线\(y=f(x)\)在点\(P(e,f(e))\)处的切线方程为\(y=2x-e(e\)为自然对数的底数\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a\)，\(b∈R^{+}\)，试比较\( \dfrac {f(a)+f(b)}{2}\)与\(f( \dfrac {a+b}{2})\)的大小，并予以证明．

难度：难

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4．
已知函数\(f(x)= \dfrac {mx}{\ln x}\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((e^{2},f(e^{2}))\)处的切线与直线\(2x+y=0\)垂直\((\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的解析式及单调递减区间；
\((2)\)是否存在常数\(k\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，\(f(x) > \dfrac {k}{\ln x}+2 \sqrt {x}\)恒成立，若存在，求出\(k\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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5．

已知函数\(f(x)\)的导数为\(f′(x)\)，且\((x+1)f(x)+xf′(x)\geqslant 0\)对\(x∈[0,+∞)\)恒成立，则下列不等式一定成立的是\((\)　　\()\)

A．\(f(1) < 2ef(2)\)

B．\(ef(1) < f(2)\)

C．\(f(1) < 0\)

D．\(ef(e) < 2f(2)\)

难度：难

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6．
已知函数\(f(x)=(x+1)^{2}-a\ln x\)．
\((\)Ⅰ\()\)讨论函数的单调性；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在区间\((0,+∞)\)内任取两个不相等的实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，不等式\( \dfrac {f(x_{1}+1)-f(x_{2}\;+1)}{x_{1}-x_{2}} > 1\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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7．
已知函数\(f(x)\)的定义域为\([-1,5]\)，部分对应值如下表．

\(x\) \(-1\) \(0\) \(4\) \(5\)

\(f(x)\) \(1\) \(2\) \(2\) \(1\)

\(f(x)\)的导函数\(y=f′(x)\)的图象如图所示：
下列关于\(f(x)\)的命题：
\(①\)函数\(f(x)\)是周期函数；
\(②\)函数\(f(x)\)在\([0,2]\)是减函数；
\(③\)如果当\(x∈[-1,t]\)时，\(f(x)\)的最大值是\(2\)，那么\(t\)的最大值为\(4\)；
\(④\)当\(1 < a < 2\)时，函数\(y=f(x)-a\)有\(4\)个零点；
\(⑤\)函数\(y=f(x)-a\)的零点个数可能为\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)个．
其中正确命题的序号是 ______ ．

难度：难

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8．
已知函数\(g(x)= \dfrac {x}{\ln x}\)，\(f(x)=g(x)-ax\)．
\((1)\)求函数\(g(x)\)的单调区间；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值；
\((3)\)若存在\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[e,e^{2}]\)，使\(f(x_{1})\leqslant f′(x_{2})+a\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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9．
已知\(x=1\)是函数\(f(x)=mx^{3}-3(m+1)x^{2}+nx+1\)的一个极值点，其中\(m\)，\(n∈R\)，\(m < 0\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(m\)与\(n\)的关系表达式；
\((\)Ⅱ\()\)求\(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅲ\()\)当\(x∈[-1,1]\)时，函数\(y=f(x)\)的图象上任意一点的切线斜率恒大于\(3m\)，求\(m\)的取值范围．

难度：难

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10．
已知函数\(f(x)=x+ \dfrac {a}{x}+\ln x\)，\(a∈R\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)在区间\((1,2)\)上单调递增，求\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)讨论函数\(g(x)=f{{'}}(x)-x\)的零点个数．

难度：难

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\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(4\)	\(5\)
\(f(x)\)	\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)