知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数f（x）=x²+ $\text{[math]}$ +alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x₁ ， y₁）、B（x₂ ， y₂）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．

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2．已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在区间（t，t+ $\text{[math]}$ ）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如果对任意的 $\text{[math]}$ ，有|f（x₁）﹣f（x₂）|≥k| $\text{[math]}$ |，求实数k的取值范围．

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3．已知函数f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时， $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．

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4．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²（f'（x）+ $\text{[math]}$ ）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×…× $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （n≥2，n∈N^*）．

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5．已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求证：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)=
f(x)
g(x)
，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

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6．已知函数f（x）=x³+
5
2
x²+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l₁与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l₂，设切线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．问：是否存在常数λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…
（1）若函数φ（x）=f（x）-
x+1
x-1
，求函数φ（x）的单调区间；
（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x₀，f（x₀））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

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8．已知函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）为偶函数，函数y=f（x）的图象在（1，f（1））处切线与直线2x-y-3=0平行，函数g（x）= $%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7Bx%7D%7D%7Bf%28x%29%7D$ ．
（1）求a，b的值；
（2）讨论g（x）的单调性；
（3）若x₀为g（x）的极小值点，求g（x₀）的取值范围．

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9．已知函数f（x）=xe^ax+lnx-e（a∈R）．
（I）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）设g（x）=lnx+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ -e，若函数h（x）=x•[f（x）-g（x）]在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．

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10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=x³+（m+1）x²+mx（m为常数）．
（1）求f（x）在点M（-2，f（-2））处的切线方程；
（2）求过点P（-1，0）的曲线C的切线方程；
（3）证明：过点N（2，1）可以作曲线f（x）的三条切线；
（4）假设a＞0，如果过点（a，b）可以作曲线C的三条切线，证明-a＜b＜f（a）

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