知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且${{a}_{1}}=2$，对任意$n\geqslant 2,n\in {{N}^{*}}$，点$\left({a}_{n},{S}_{n-1}\right) $都在函数$f(x)=x-2$的图象上．
$(1)$求数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项公式；

$(2)$设${{b}_{n}}=\dfrac{2}{{{\log }_{2}}{{a}_{4n-3}}{{\log }_{2}}{{a}_{4n+1}}}$，${{T}_{n}}$是数列$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$的前$n$项和，是否存在最大的正整数$k$，使得对于任意的正整数$n$，有${{T}_{n}} > \dfrac{k}{20}$恒成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，说明理由．

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2．已知函数f（x）=x²-2x+4，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7Bn%7D%7D%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ．

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3．数列{a_n}满足a₁=2， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%7D%7D%7B%28n%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29a_%7Bn%7D%2B2%5E%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（1）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设 $c_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，求出S_n并由此证明： $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B16%7D%E2%89%A4S_%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

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4．
已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}=1$，$na_{n+1}-(n+1)a_{n}=1(n∈N_{+})$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$若$b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{2}\cdot ( \dfrac {8}{9})^{n}(n∈N_{+})$，求数列$\{b_{n}\}$的最大项．

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5．
已知数列$\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}$，
$($Ⅰ$)$计算$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$的值；
$($Ⅱ$)$令$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1$，求证：数列$\{b_{n}\}$是等比数列；
$($Ⅲ$)$设$S_{n}$、$T_{n}$分别为数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$的前$n$项和，是否存在实数$λ$，使得数列$\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}$为等差数列？若存在，试求出$λ$的值；若不存在，请说明理由．

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6．
已知函数$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}(x > 0)$，数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$满足${{a}_{1}}=f(x)$，${{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})$

$($Ⅰ$)$求${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，${{a}_{4}}$；

$($Ⅱ$)$猜想数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项，并予以证明。

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7．已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$s_{n}=32n-n^{2}+1$，
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求数列$\{a_{n}\}$的前多少项和最大．

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg $%20%5Cfrac%20%7B10a_%7B1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

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9．已知数列{a_n}的前n项和s_n=32n-n²+1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前多少项和最大．

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10．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n年后该设备的盈利额为f（n）万元．
（Ⅰ）写出f（n）的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备．问用哪种方案处理较为合算？请说明理由．

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