知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和记为$S_{n}.$已知$a_{10}=30$，$a_{20}=50$．
$(1)$求通项公式$\{a_{n}\}.$
$(2)$求前$n$项和$S_{n}$，并求$S_{3}$．

难度：难

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2．已知在等差数列{a_n}中，a₃=5，a₁+a₁₉=-18
（1）求公差d及通项a_n
（2）求数列 {a_n}的前n项和S_n及使得S_n的值取最大时n的值．

难度：难

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3．
已知在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{3}=5$，$a_{1}+a_{19}=-18$
$(1)$求公差$d$及通项$a_{n}$
$(2)$求数列 $\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$及使得$S_{n}$的值取最大时$n$的值．

难度：难

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4．
已知数列$\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}$，
$($Ⅰ$)$计算$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$的值；
$($Ⅱ$)$令$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1$，求证：数列$\{b_{n}\}$是等比数列；
$($Ⅲ$)$设$S_{n}$、$T_{n}$分别为数列$\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$的前$n$项和，是否存在实数$λ$，使得数列$\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}$为等差数列？若存在，试求出$λ$的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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5．
在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{2}=3$，$a_{5}=81$．
$($Ⅰ$)$求$a_{n}$；
$($Ⅱ$)$设$b_{n}=\log _{3}a_{n}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$．

难度：难

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6．
已知$\{a_{n}\}$是递增的等差数列$a_{3}= \dfrac {5}{2}$，且$a_{2}a_{4}=6$．
$(1)$求$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}$和公差$d$；
$(2)$求$\{a_{n}\}$的通项和前$n$项和$S_{n}$．

难度：难

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7．
根据预测，某地第$n(n∈N^{*})$个月共享单车的投放量和损失量分别为$a_{n}$和$b_{n}($单位：辆$)$，其中$a_{n}= \begin{cases} \overset{5n^{4}+15,1\leqslant n\leqslant 3}{-10n+470,n\geqslant 4}\end{cases}$，$b_{n}=n+5$，第$n$个月底的共享单车的保有量是前$n$个月的累计投放量与累计损失量的差．
$(1)$求该地区第$4$个月底的共享单车的保有量；
$(2)$已知该地共享单车停放点第$n$个月底的单车容纳量$S_{n}=-4(n-46)^{2}+8800($单位：辆$).$设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

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8．
已知数列$｛a_{n}｝$的通项公式为${a}_{n}= \dfrac{1}{1+2+3+…+n} $，

$(1)$求${a}_{1},{a}_{2},{a}_{3} $；

$(2)$求这个数列的前$n$项和$;$

难度：难

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9．已知等差数列{a_n}中，a₃+a₂=5，a₄=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求该数列前15项的和S₁₅的值．

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10．数列{a_n}对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+1，a₃=2．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若 $b_%7Bn%7D%3D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D%2Bn$ ，求{b_n}的通项公式及前n项和．

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