设\(\{{{a}_{n}}\}\)是首项为\({{a}_{1}}\)，公差为\(d\)的等差数列，\(\{{{b}_{n}}\}\)是首项为\({{b}_{1}}\)，公比为\(q\)的等比数列．

\((1)\)设\({{a}_{1}}=0,{{b}_{1}}=1,q=2\)，若\(|{{a}_{n}}-{{b}_{n}}|\leqslant {{b}_{1}}\)对\(n=1,2,3,4\)均成立，求\(d\)的取值范围；

\((2)\)若\({{a}_{1}}={{b}_{1}} > 0,m\in {{N}^{*}},q\in (1,\sqrt[m]{2}]\)，证明：存在\(d\in R\)，使得\(|{{a}_{n}}-{{b}_{n}}|\leqslant {{b}_{1}}\)对\(n=2,3,\cdots ,m+1\)均成立，并求\(d\)的取值范围\((\)用\({{b}_{1}},m,q\)表示\()\)．

已知数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列，\(a_{1}=2\)，\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，且\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+…+a_{n}b_{n}=(n-1)⋅2^{n+2}+4\)对任意的\(n∈N*\)恒成立．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)是否存在非零整数\(λ\)，使不等式\(\sin \dfrac{{a}_{n}π}{4} < \dfrac{1}{λ\left(1- \dfrac{1}{{a}_{1}}\right)\left(1- \dfrac{1}{{a}_{1}}\right)…\left(1- \dfrac{1}{{a}_{n}}\right) \sqrt{{a}_{n}+1}} \)对一切\(n∈N*\)都成立？若存在，求出\(λ\)的值；若不存在，说明理由．

\((3)\)各项均为正整数的无穷等差数列\(\{c_{n}\}\)，满足\(c_{39}=a_{1007}\)，且存在正整数\(k\)，使\(c_{1}\)，\(c_{39}\)，\(c_{k}\)成等比数列，若数列\(\{c_{n}\}\)的公差为\(d\)，求\(d\)的所有可能取值之和．

\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1-\sqrt{{{a}_{n+1}}}}{\sqrt{n}}\)，记\({{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{b}_{k}}}\)，证明：\(S_{n} < 1\)．

已知首项为\(\dfrac{1}{3}\)的数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，定义在\({[}1{,+∞})\)上恒不为零的函数\(f(x)\)，对任意的\(x\)，\(y{∈}R\)，都有\(f(x){⋅}f(y){=}f(x{+}y){.}\)若点\((n{,}a_{n})(n{∈}N{*})\)在函数\(f(x)\)的图象上，且不等式\(m^{2}{+}\dfrac{2m}{3}{ < }S_{n}\)对任意的\(n{∈}N{*}\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围为______