知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
已知数列\(\{\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}\)，\(b_{n+1}=(n-λ)( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*}),b_{1}=-λ\)．
\((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}+1\}\)是等比数列；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：难

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4．
已知公差不为零的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\({{S}_{12}}=156\)，且\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{4}}\)成等比数列

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{\left( {{a}_{n}}-1 \right)\left( {{a}_{n}}+1 \right)}\)，若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)，求\({{T}_{n}}\)．

难度：难

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5．
\((1)\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c.\)若\(A=\dfrac{\pi }{3}\)，\(\cos B=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)，\(b=2\)，则\(a=\)________．

\((2)\)如图所示，已知矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=a\)，若\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，在\(BC\)边上取点\(E\)，使\(PE⊥DE\)，则满足条件的\(E\)点有两个时，\(a\)的取值范围是________．

\((3)\)过点\((6,8)\)的直线与坐标轴正半轴围成三角形面积的最小值为________．

\((4)\)若实数\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，且\(a+b+c=1\)，则\(a+c\)的取值范围是________．

难度：难

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6．
\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(|\overrightarrow{b}|=1\)，且\(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}(λ > 0)\)，则\(λ=\)________．

\((2)\)已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(\sqrt{3}\)为\(3^{a}\)以与\(3^{b}\)的等比中项，则\(\dfrac{ab}{4a+9b}\)的最大值为________．

\((3)\)已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面为矩形，平面\(PBC⊥\)平面\(ABCL\)，\(PE\)垂直线段\(BC\)于点\(E\)，\(EC=2\)，\(AB=6\)，\(BC=8\)，\(PE=4\)，则四棱锥\(P-ABCD\)外接球的表面积是________．

\((4)\)已知平面直角坐标系中有两定点\(F_{1}(0,-2)\)，\(F_{2}(0,2)\)，平面中有一动点\(M\)，该点使得\(\triangle MF_{1}F_{2}\)满足条件\(\sin \angle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\sqrt{3}\sin \angle M{{F}_{2}}{{F}_{1}}\)，则\(\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\cdot \overrightarrow{M{{F}_{2}}}\)的取值范围是________．

难度：难

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7．
数字 \(1,2,3,\cdots ,n\ \ (n\geqslant 2)\) 的任意一个排列记作 \(({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\) ，设 \({{S}_{n}}\) 为所有这样的排列构成的集合．集合\({{A}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\) ，都有\({{a}_{i}}-i\leqslant {{a}_{j}}-j\}\) ；集合\({{B}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\) ，都有\({{a}_{i}}+i\leqslant {{a}_{j}}+j\}\) ．
\((\)Ⅰ\()\)用列举法表示集合\({{A}_{3}}\) ，\({{B}_{3}}\) ；
\((\)Ⅱ\()\)求集合\({{A}_{n}}\bigcap {{B}_{n}}\) 的元素个数；

\((\)Ⅲ\()\)记集合\({{B}_{n}}\)的元素个数为\({{b}_{n}}\)\(.\)证明：数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是等比数列．

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8．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}=t(S_{n}-a_{n}+1)(t\)为常数，且\(t\neq 0\)，\(t\neq 1)\)．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=a_{n}^{2}+S_{n}a_{n}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(t\)的值；
\((3)\)在满足条件\((2)\)的情形下，设\(c_{n}=4a_{n}+1\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若不等式\( \dfrac {12k}{4+n-T_{n}}\geqslant 2n-7\)对任意的\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

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9．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差不为零，且满足\(a_{1}=6\)，\(a_{2}\)，\(a_{6}\)，\(a_{14}\)成等比数列．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)记\(b_{n}= \dfrac {2}{(n+1)a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：难

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10．
\((1)\)不等式\(\dfrac{1}{x} < 1\)的解集是________．

\((2)\)已知\(a\)，\(b\)是互异的正数，\(A\)是\(a\)，\(b\)的等差中项，\(G\)是\(a\)，\(b\)的正的等比中项，则\(A\)________\(G( > , < ,\geqslant ,\leqslant \)选填其中一个\()\)．

\((3)\)已知\(\sin (60{}^\circ +\alpha )=\dfrac{5}{13}\)，\(30^{\circ} < a < 120^{\circ}\)，则\(\cos α=\)________．

\((4)\)如图在正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，给出以下结论

\(①A_{1}C_{1}\)与平面\(A_{1}B_{1}CD\)成\(45^{\circ}\)角；

\(②CD_{1}\)与\(BC_{1}\)成\(60^{\circ}\)角；

\(③{{V}_{B1}}_{-{{A}_{1}}B{{C}_{1}}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B}}{{_{1}}_{-A{{D}_{1}}C}}\)；

\(④\)正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表而积之比为\(1︰2︰3\)其中正确的结论序号是________\(.(\)写出所有正确结论的序号\()\)

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