知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\({S}_{n} \)是公差不为\(0\)的等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，\({S}_{5}=35 \)，\({a}_{1},{a}_{4},{a}_{13} \)成等比数列．

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)求数列\(\left\{ \dfrac{1}{{S}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和\({T}_{n} \)．

难度：难

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2．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=3\)， \({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( 3n+1 \right)\)．

\((1)\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}n \right\}\)是等比数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(10\)项和\({{S}_{10}}\)．

难度：难

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3．

在各项均为正数的等比数列\(\{b_{n}\}\)中，若\(b_{7}⋅b_{8}=3\)，则\(\log _{3}b_{1}+\log _{3}b_{2}+…+\log _{3}b_{14}\)等于\((\)　　\()\)

A．\(5\)

B．\(6\)

C．\(8\)

D．\(7\)

难度：难

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4．
已知数列\(\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}\)，
\((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
\((\)Ⅲ\()\)设\(S_{n}\)、\(T_{n}\)分别为数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，是否存在实数\(λ\)，使得数列\(\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}\)为等差数列？若存在，试求出\(λ\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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5．
等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{4}=2\)，\(a_{5}=5\)，则数列\(\{\lg a_{n}\}\)的前\(8\)项和等于 ______ ．

难度：难

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6．
已知各项均为正数的等比数列\(\{a_{n}\}\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)，若\(S_{n}=2\)，\(S_{3n}=14\)，则\(S_{6n}=\) ______ ．

难度：难

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7．
设函数\(f(x)= \begin{cases} \overset{x\ln x,x\geqslant 1}{ \dfrac {\ln x}{x},0 < x < 1}\end{cases}\)，若\(\{a_{n}\}\)是公比大于\(0\)的等比数列，且\(a_{3}a_{4}a_{5}=1\)，若\(f(a_{1})+f(a_{2})+…+f(a_{6})=2a_{1}\)，则\(a_{1}=\) ______ ．

难度：难

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8．
数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和是\({S}_{n},{a}_{1}=1,2{S}_{n}={a}_{n+1}(n∈{N}_{+}) \)，则\(a_{n}=\) ______ ．

难度：难

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9．
填空题

\((1)\triangle ABC\)中，\(A={{60}^{\circ }}\)，\(b = 1\)，\({S}_{∆ABC}= \sqrt{3} \)，则\( \dfrac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}= \)________ ．

\((2)\)在公差不为\(0\)的等差数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\} \)中，\({a}_{1}+{a}_{3}=8 \)，且\(a_{4}\)为\(a_{2}\)和\(a_{9}\)的等比中项，则\(a_{5}=\)_____．

\((3)∆ABC \)三内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\( \sqrt{3}\sin A-a\cos B-2a=0 \)，则\(∠B= \)_______．

\((4)\)已知数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\} \)中，\({{a}_{1}}=-60,{a}_{n+1}={a}_{n}+3 \)，则\(\left|{a}_{1}\right|+\left|{a}_{2}\right|+\left|{a}_{3}\right|+……+\left|{a}_{30}\right|= \)___________．

难度：难

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10．
若等比数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，且\(a_{10}a_{11}+a_{9}a_{12}=2e^{5}\)，则\(\ln a_{1}+\ln a_{2}+…+\ln a_{20}\)等于________．

难度：难

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