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          共50条信息

            • 1．

              数列\(\{ a_{n}\}\)前\(n\)项和为\(S_{n}{=}n^{2}{+}3n+1\)，则\(\{ a_{n}\}\)的通项等于______ ．

              难度：难
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            • 2．

              设\(S_{n}\)为正项数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}{=}2{,}S_{n{+}1}(S_{n{+}1}{-}2S_{n}{+}1){=}3S_{n}(S_{n}{+}1)\)，则\(a_{100}\)等于\(({  })\)

              A．\(2{×}3^{98}\)
              B．\(4{×}3^{98}\)
              C．\(2{×}3^{99}\)
              D．\(4{×}3^{99}\)
              难度：难
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            • 3． 数列{an}满足a1=2，．
              （1）设，求数列{bn}的通项公式；
              （2）设，数列{cn}的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：．
              难度：难
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            • 4． 数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．
              （Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
              （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
              难度：难
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            • 5．
              设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2n+3}{n}S_{n}(n∈N^{*}).\)
              \((1)\)证明：数列\(\{ \dfrac {S_{n}}{n}\}\)是等比数列；
              \((2)\)求数列\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}+a_{n}= \sqrt {n+1}- \sqrt {n-1}\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)猜想数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明．
              难度：难
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            • 7． 已知数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中， \(a\)\({\,\!}_{2}=\) \(a\)\(( \)\(a\)为非零常数\()\)，其前 \(n\)项和\(S\) \({\,\!}_{n}\)满足：\(S\) \({\,\!}_{n}\)\(= \dfrac{n\left({a}_{n}-{a}_{1}\right)}{2}\left(n∈{N}^{*}\right) \)
              \((1)\)求数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；
              \((2)\)若 \(a\)\(=2\)，且\( \dfrac{1}{4} \) \(a_{m}\)\({\,\!}^{2}-S\) \({\,\!}_{n}\)\(=11\)，求 \(m\)、 \(n\)的值；
              难度：难
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            • 8．

              已知函数\(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}(x > 0)\)，数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=f(x)\)，\({{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})\)

              \((\)Ⅰ\()\)求\({{a}_{2}}\)，\({{a}_{3}}\)，\({{a}_{4}}\)；

              \((\)Ⅱ\()\)猜想数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项，并予以证明。

              难度：难
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            • 9．

              数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项\({a}_{n}={n}^{2}\left({\cos }^{2} \dfrac{nπ}{3}-{\sin }^{2} \dfrac{nπ}{3}\right) \)，其前\(n\)项和为\(S_{n\;}\)\({\,\!}_{。}\)

              \((1)\)求\(S_{1}\)，\(S_{2\;}\)，\(S_{3}\)；

              \((2)\)求\(S_{n}\)\({\,\!}\)；

              \((3)\)若数列\({b}_{n}=- \dfrac{9n-4}{n+2}· \dfrac{1}{{S}_{3n-1}} \)，其前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\( \dfrac{2}{3}\leqslant {T}_{n}\leqslant \dfrac{3}{2} \)

              难度：难
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            • 10．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=2,{{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{2}^{n+1}}\)．

              \((1)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式；  

              \((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)；

              \((3)\)记\({{c}_{n}}=\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{n}^{2}}+4n+2 \right){{2}^{n}}}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

              难度：难
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