在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=-n+t\)，数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{b}_{n}}={{2}^{n}}\)，设数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)满足\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}{2}+\dfrac{\left| {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right|}{2}\)，且\({{c}_{n}}\geqslant {{c}_{3}}\left( n\in {{N}^{{*}}} \right)\)，则实数\(t\)的取值范围是________________

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且有\({{a}_{1}}=2\)，\(3{{S}_{n}}=5{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}+3{{S}_{n-1}}(n\geqslant 2)\)．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)若\({{b}_{n}}=(2n-1){{a}_{n}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

\((3)\)若\({{c}_{n}}={{t}^{n}}[\lg {{(2t)}^{n}}+\lg {{a}_{n+2}}]{ }(0 < t < 1)\)，且数列\(\{{{c}_{n}}\}\)中的每一项总小于它后面的项，求实数\(t\)的取值范围．

已知函数\(f\left( x \right)=\begin{cases} {{a}^{x-5}},x\geqslant 6, \\ \left( 4-\dfrac{a}{2} \right)x+4,x < 6, \end{cases}\)数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)满足\({{a}_{n}}=f\left( n \right)\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)，且数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)是递增数列，则实数\(a\)的取值范围是______．

设数列\(\{a_{n}\}\)是集合\(\{3^{s}+3^{t}|0\leqslant s < t\)，且\(S\)，\(t∈Z\}\)中所有的数从小到大排列成的数列，即\(a_{1}=4\)，\(a_{2}=10\)，\(a_{3}=12\)，\(a_{4}=28\)，\(a_{5}=30\)，\(a_{6}=36\)，\(…\)，将数列\(\{a_{n}\}\)中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图等腰直角三角形数表，\(a_{200}\)的值为\((\)    \()\)

已知函数\(f(x)=\dfrac{x+1}{2x-1}\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\({{a}_{n}}=f(\dfrac{n}{2017})\)，则\(S_{2017}=\)