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          共50条信息

            • 1．

              \(7\)月份，有一款新服装投入某市场销售，\(7\)月\(1\)日该款服装仅销售出\(3\)件，\(7\)月\(2\)日售出\(6\)件，\(7\)月\(3\)日售出\(9\)件，\(7\)月\(4\)日售出\(12\)件，以后每天售出的件数分别递增\(3\)件直到日销售量达到最大\((\)只有\(l\)天\()\)后，每天销售的件数开始下降，分别递减\(2\)件，到\(7\)月\(31\)日刚好售出\(3\)件．

                  \((1)\)问\(7\)月几号该款服装销售件数最多\(?\)其最大值是多少\(?\)

                  \((2)\)按规律，当该商场销售此服装达到\(200\)件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于\(20\)件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天\(?\)说明理由．

              难度：难
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            • 2．
              定义：从一个数列\(\{a_{n}\}\)中抽取若干项\((\)不少于三项\()\)按其在\(\{a_{n}\}\)中的次序排列的一列数叫做\(\{a_{n}\}\)的子数列，成等差\((\)等比\()\)的子数列叫做\(\{a_{n}\}\)的等差\((\)等比\()\)子列．
              \((1)\)记数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(S_{n}=n^{2}\)，求证：数列\(\{a_{3n}\}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的等差子列；
              \((2)\)设等差数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为整数，公差\(d\neq 0\)，\(a_{5}=6\)，若数列\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a\;_{n_{1}}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的等比子列，求\(n_{1}\)的值；
              \((3)\)设数列\(\{a_{n}\}\)是各项均为实数的等比数列，且公比\(q\neq 1\)，若数列\(\{a_{n}\}\)存在无穷多项的等差子列，求公比\(q\)的所有值．
              难度：难
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            • 3．
              如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形\(…\)，如此继续\(.\)若共得到\(1023\)个正方形，设起始正方形的边长为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，则最小正方形的边长为 ______ ．
              难度：难
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=a(a\)为非零常数\()\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}= \dfrac {n(a_{n}-a_{1})}{2}(n∈N^{*})\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(a=2\)，且\( \dfrac {1}{4}a_{m}^{2}-S_{n}=11\)，求\(m\)、\(n\)的值；
              \((3)\)是否存在实数\(a\)、\(b\)，使得对任意正整数\(p\)，数列\(\{a_{n}\}\)中满足\(a_{n}+b\leqslant p\)的最大项恰为第\(3p-2\)项？若存在，分别求出\(a\)与\(b\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 5．
              将\(25\)个数排成五行五列：

              已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等\(.\)若\(a_{24}=4\)，\(a_{41}=-2\)，\(a_{43}=10\)，则\(a_{11}×a_{55}\)的值为 ______ ．
              难度：难
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            • 6．
              在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(A\)，\(B\)，\(C\)成等差数列，\(2a\)，\(2b\)，\(2c\)成等比数列，则\(\cos A\cos B=(\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {1}{4}\)
              B．\( \dfrac {1}{6}\)
              C．\( \dfrac {1}{2}\)
              D．\( \dfrac {2}{3}\)
              难度：难
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            • 7．
              设\(\{a_{n}\}\)是公差不为零的等差数列，满足\(a_{6}=5\)，\(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=a_{4}^{2}+a_{5}^{2}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=3n-11\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若从数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n+4}\}\)中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列\(\{C_{n}\}\)，直接写出数列\(\{C_{n}\}\)的通项公式；
              \((3)\)记\(d_{n}= \dfrac {b_{n}}{a_{n}}\)，是否存在正整数\(m\)，\(n(m\neq n\neq 5)\)，使得\(d_{5}\)，\(d_{m}\)，\(d_{n}\)成等差数列？若存在，求出\(m\)，\(n\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 8．

              已知每项均是正整数的数列\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},……,{a}_{100} \)，其中等于\(i\)的项有\({k}_{i} \)个\((i=1,2,3……)\)，设\({b}_{i}={k}_{1}+{k}_{2}+……+{k}_{j}(j=1,2,3……) \)，\(g(m)={b}_{1}+{b}_{2}+……+{b}_{m}-100m(m=1,2,3……) \)

              \((1)\)设数列\({k}_{1}=40,{k}_{2}=30,{k}_{3}=20,{k}_{4}=10,{k}_{5}=……={k}_{100}=0 \)，求\(g(1)\)，\(g(2)\)，\(g(3)\)，\(g(4)\)；

              \((2)\)若\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},……,{a}_{100} \)中最大的项为\(50\)，比较\(g(m)\)，\(g(m+1)\)的大小；

              \((3)\)若\({a}_{1}+{a}_{2}+……+{a}_{100}=200 \)，求函数\(g(m)\)的最小值．

              难度：难
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            • 9．

              已知首项为\(\begin{matrix} & \dfrac{1}{2} \\ & \\ \end{matrix}\)的等比数列\(\{a\)\(n\)\(\}\)是递减数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{1}+a_{1}\)，\(S_{2}+a_{2}\)，\(S_{3}+a_{3\;\;\;\;\;\;\;}\)成等差数列．

              \((\)Ⅰ\()\) 求数列\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\) 若\({b}_{n}={a}_{n}·{\log }_{2}{a}_{n} \)数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求满足不等式\( \dfrac{{T}_{n}+2}{n+2}\geqslant \dfrac{1}{16} \)的最大\(n\)值．

              难度：难
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            • 10．

              已知数列\({ }\!\!\{\!\!{ }{{a}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)，点\((n,{{S}_{n}})(n\in {{N}^{*}})\)在函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}x\)的图象上．

              \((1)\)求数列\({ }\!\!\{\!\!{ }{{a}_{n}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的通项公式；

              \((2)\)设数列\({ }\!\!\{\!\!{ }\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，不等式\({{T}_{n}} > \dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}(1-a)\)对任意正整数\(n\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

              难度：难
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