在\(\Delta ABC\)中，\(BD\)平分\(\angle ABC\)交\(AC\)于点\(D\)，\(AD=2\)，\(CD=1\)，则\(\Delta ABC\)的面积的最大值为_____．

​

    \((1)\)若\(\tan \alpha =\dfrac{{3}}{{4}}\)，\(B\)点的横坐标为\(\dfrac{{5}}{{13}}\)，求\(\cos (α+β)\)的值；

    \((2)\)若角\(α+β\)的终边与单位圆交于\(C\)点，设角\(α\)、\(β\)、\(α+β\)的正弦线分别为\(MA\)、\(NB\)、\(PC\)，求证：线段\(MA\)、\(NB\)、\(PC\)能构成一个三角形；

\((3)\)探究第\((2)\)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

如果满足\(B={{45}^{0}},AC=10,BC=k\)的\(\Delta ABC\)恰有一个，则实数的取值范围是____________．

在\(\vartriangle ABC\)中，内角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c.\)已知\(a\sin A=4b\sin B\)，\(ac=\sqrt{5}({{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}})\)．

\((I)\)求\(\cos A\)的值；

\((II)\)求\(\sin (2B-A)\)的值．

\(\triangle ABC\)的三个内角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\( \dfrac{\tan A}{\tan B}= \dfrac{2c}{b} \)  ．

\((1)\)求\(A\)的大小；

\((2)\)若\(\triangle ABC\) 为锐角三角形，求函数\(y\)\(=2\)\(\sin \)\({\,\!}^{2}B-2\)\(\cos \)\(B\)\(\cos \)\(C\) 的取值范围；

\((3)\)现在给出下列三个条件\((\) \( \sqrt{3} +1)\)\(b\)\(=0\)；\(③B=45^{\circ}\)，试从中再选择两个条件，以确定\(\triangle ABC\)，求出所确定的\(\triangle ABC\)   的面积．

在\(\triangle ABC\)中，\(a\)，\(b\)，\(c\)分别是角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，\( \overrightarrow{π} =( \sqrt{3} a,c)\)与\( \overrightarrow{n} =(1+\cos A,\sin C)\)为共线向量．

\((1)\)求角\(A\)；

\((2)\)若\(3bc=16-a^{2}\)，且\({{S}_{\vartriangle ABC}}=\sqrt{3}\)，求\(b\)，\(c\)的值．

设\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且满足\(\sin A+\sin B=(\cos A+\cos B)\sin C\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(\triangle ABC\)为直角三角形；

\((\)Ⅱ\()\)若\(a+b+c=1+\sqrt{2}\)，求\(\triangle ABC\)面积的最大值．

已知\(\triangle ABC\)三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对应边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(C= \dfrac{π}{3}\)，\(c=2.\)当\(\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{AB}\)取得最大值时，\( \dfrac{b}{a} \)的值为      ．