知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x 3 4 5 6 7
y 2.5 3 4 4.5 6
（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
附： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ，a= $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

难度：难

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2．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？
参考公式： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ， $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ．

难度：难

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3．在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：
物体重量（单位g） 1 2 3 4 5
弹簧长度（单位cm） 1.5 3 4 5 6.5
（1）利用最小二乘法求y对x的回归直线方程；
（2）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．
（参考公式及数据： $b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%8Ca%3D%20%5Coverline%20%7By%7D-b%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D%3D55$ $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%3D72$ ）

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4．已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程 $%20%CC%82y%3Dbx%2Ba$ 必过定点 ______ ．
x 0 1 2 3
y 1 3 5-m 7+m

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5．
下表是某厂改造后产量$x$吨产品与相应生产能耗$y($吨$)$的几组对照数据：

$x$ $3$ $4$ $5$ $6$

$y$ $2.5$ $3$ $4$ $4.5$

$(1)$求出$y$关于$x$的线性回归方程$ \hat y= \hat bx+ \hat a$；
$(2)$已知技术改造前生产$100$吨该产品能耗$90$吨，试根据所求出的回归方程，预测生产$100$吨该产品的生产能耗比改造前降低多少吨？
附：$ \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{ .}{x} \overset{ .}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{ i }^{ 2 }-n \overset{}{x}^{2}}$，$ \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}$．

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6．

设$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$…$，$(x_{n},y_{n})$是变量$x$和$y$的$n$个样本点，直线$l$是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线$($如图$)$，以下结论中正确的是$($　　$)$

A．$x$和$y$的相关系数为直线$l$的斜率

B．$x$和$y$的相关系数在$0$到$1$之间

C．当$n$为偶数时，分布在$l$两侧的样本点的个数一定相同

D．直线$l$过点$( \overset{ .}{x}, \overset{ .}{y})$

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7．
某种产品的广告费用支出$x($万元$)$与销售额$y($万元$)$之间有如下的对应数据：

$x$ $2$ $4$ $5$ $6$ $8$

$y$ $30$ $40$ $60$ $50$ $70$

$(1)$求回归直线方程；
$(2)$据此估计广告费用为$12$万元时的销售额约为多少？
参考公式：$ \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{ .}{x} \overset{ .}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overset{}{x}^{2}}$，$ \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}$，$ \hat y= \hat bx+ \hat a$．

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8．

偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差$x($单位：分$)$与物理偏差$y($单位：分$)$之间的关系进行分析，随机挑选了$8$位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
数学偏差$x$	$20$	$15$	$13$	$3$	$2$	$-5$	$-10$	$-18$
物理偏差$y$	$6.5$	$3.5$	$3.5$	$1.5$	$0.5$	$-0.5$	$-2.5$	$-3.5$

$(1)$若$x$与$y$之间具有线性相关关系，求$y$关于$x$的线性回归方程；
$(2)$若该次考试该班数学平均分为$120$分，物理平均分为$91.5$分，试由$(1)$的结论预测数学成绩为$128$分的同学的物理成绩．
参考公式：$ \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{ .}{x} \overset{ .}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overset{}{x}^{2}}$．

难度：难

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9．某公司为了增加销售额，经过了一系列的宣传方案，经统计广告费用x万元与销售额y万元历史数据如表：
x 2 3 5 6
y 3 5 7 9
（1）求销售额y关于广告费用x的线性回归方程；
（2）若广告费用投入8万元，请预测销售额会达到多少万元？
参考公式b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5Ccdot%20y_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%C2%A0x_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ，a=y-bx．

难度：难

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10．已知x与y之间的一组数据：（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），则y与x的线性回归方程必过点（　　）

A．（2，4）

B．（1.5，2）

C．（1，2）

D．（1.5，4）

难度：难

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\(x\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)

\(x\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)
\(y\)	\(30\)	\(40\)	\(60\)	\(50\)	\(70\)

学生序号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
数学偏差\(x\)	\(20\)	\(15\)	\(13\)	\(3\)	\(2\)	\(-5\)	\(-10\)	\(-18\)
物理偏差\(y\)	\(6.5\)	\(3.5\)	\(3.5\)	\(1.5\)	\(0.5\)	\(-0.5\)	\(-2.5\)	\(-3.5\)

物体重量（单位g）	1	2	3	4	5
弹簧长度（单位cm）	1.5	3	4	5	6.5

x	3	4	5	6	7
y	2.5	3	4	4.5	6

x	0	1	2	3
y	1	3	5-m	7+m