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          共50条信息

            • 1．
              一只药用昆虫的产卵数\(y\)与一定范围内的温度\(x\)有关，现收集了该种药用昆虫的\(6\)组观测数据如表：
              温度\(x/^{\circ}C\) \(21\) \(23\) \(24\) \(27\) \(29\) \(32\)
              产卵数\(y/\)个 \(6\) \(11\) \(20\) \(27\) \(57\) \(77\)
              经计算得：\( \overline {x}= \dfrac {1}{6} \sum\limits_{i=1}^{6}x_{i}=26\)，\( \overline {y}= \dfrac {1}{6} \sum\limits_{i=1}^{6}y_{i}=33\)，\( \sum\limits_{i=1}^{6}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})=557\)，\( \sum\limits_{i=1}^{6}(x_{i}- \overline {x})^{2}=84\)，\( \sum\limits_{i=1}^{6}(y_{i}- \overline {y})^{2}=3930\)，线性回归模型的残差平方和\( \sum\limits_{i=1}^{6}(y_{i}- \overset{\hat{} }{y}_{i})^{2}=236.64\)，\(e^{8.0605}≈3167\)，其中\(x_{i}\)，\(y_{i}\)分别为观测数据中的温度和产卵数，\(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若用线性回归模型，求\(y\)关于\(x\)的回归方程\( \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}(\)精确到\(0.1)\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若用非线性回归模型求得\(y\)关于\(x\)的回归方程为\( \overset{\hat{} }{y}=0.06e^{0.2303x}\)，且相关指数\(R^{2}=0.9522\)．
              \((\) \(i\) \()\)试与\((\)Ⅰ\()\)中的回归模型相比，用\(R^{2}\)说明哪种模型的拟合效果更好．
              \((ii)\)用拟合效果好的模型预测温度为\(35^{\circ}C\)时该种药用昆虫的产卵数\((\)结果取整数\()\)．
              附：一组数据\((x_{1},y_{1})\)，\((x_{2},y_{2})\)，\(…\)，\((x_{n},y_{n})\)，其回归直线\( \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}\)的斜率和截距的最小二乘估计为\( \overset{\hat{} }{b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}\)，\( \overset{\hat{} }{a}= \overline {y}- \overset{\hat{} }{b} \overline {x}\)；相关指数\(R^{2}=1- \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}- \overset{\hat{} }{y}_{i})^{2}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}- \overline {y})^{2}}\)．
              难度：难
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            • 2．
              在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度\(y\)与析出银的光学密度\(x\)由公式\(y=Ae^{ \frac {b}{x}}(b < 0)\)表示，现测得试验数据如下：
              \(x_{i}\) \(0.05\) \(0.06\) \(0.25\) \(0.31\) \(0.07\) \(0.10\) \(0.38\) \(0.43\) \(0.14\) \(0.20\)
              \(y_{i}\) \(0.10\) \(0.14\) \(1.00\) \(1.12\) \(0.23\) \(0.37\) \(1.19\) \(1.25\) \(0.59\) \(0.79\)
              试求\(y\)对\(x\)的回归方程．
              参考数据：
              \(①\)由最小二乘法可得线性回归方程\( \overset{\land }{y}=bx+a\)中，\(b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}\)，\(a= \overset{ .}{y}-b \overset{ .}{x}\)
              \(②\)设\(u= \dfrac {1}{x}\)，\(v=\ln y\)，有下表：
              \(u_{i}\) \(20.000\) \(16.667\) \(4.000\) \(3.226\) \(14.286\) \(10.000\) \(2.632\) \(2.326\) \(7.143\) \(5.000\)
              \(v_{i}\) \(-2.303\) \(-1.966\) \(0.000\) \(0.113\) \(-1.470\) \(-0.994\) \(0.174\) \(0.223\) \(-0.528\) \(-0.236\)
              \(③\)设\(a=\ln A\)，\(b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(u_{i}- \overset{}{u})(v_{i}- \overset{}{v})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(u_{i}- \overset{}{u})^{2}}=-0.146\)，则有\(a= \overset{ .}{v}-b \overset{ .}{u}=0.548\)
              \(④e^{0.548}=1.73\)．
              难度：难
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            • 3．
              某地区某农产品近几年的产量统计如表：
              年     份 \(2012\) \(2013\) \(2014\) \(2015\) \(2016\) \(2017\)
              年份代码\(t\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
              年产量\(y(\)万吨\()\) \(6.6\) \(6.7\) \(7\) \(7.1\) \(7.2\) \(7.4\)
              \((1)\)根据表中数据，建立\(y\)关于\(t\)的线性回归方程\( \hat {y}= \hat {b}\;t+ \hat {a}\)；
              \((2)\)根据\((1)\)中所建立的回归方程预测该地区\(2018\)年\((t=7)\)该农产品的产量．
              附：对于一组数据\((t_{1},y_{1})\)，\((t_{2},y_{2})\)，\(…\)，\((t_{n},y_{n})\)，其回归直线\( \hat {y}= \hat {b}\;t+ \hat {a}\)的斜率和截距的最小二乘估计分别为：\( \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(t_{i}- \overline {t})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(t_{i}- \overline {t})^{2}}\)，\( \hat {a}= \overline {y}- \hat {b}\; \overline {t}\)．
              难度：难
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            • 4．
              已知\(x\)、\(y\)之间的一组数据如下：
              \(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
              \(y\) \(8\) \(2\) \(6\) \(4\)
              则线性回归方程\( \overset{\hat{} }{y}=a+bx\)所表示的直线必经过点 ______ ．
              难度：难
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            • 5．
              某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了\(1\)至\(6\)月份每月\(10\)号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
              日期 \(1\)月\(10\)日 \(2\)月\(10\)日 \(3\)月\(10\)日 \(4\)月\(10\)日 \(5\)月\(10\)日 \(6\)月\(10\)日
              昼夜温差\(x(^{0}C)\) \(10\) \(11\) \(13\) \(12\) \(8\) \(6\)
              就诊人数\(y(\)个\()\) \(22\) \(25\) \(29\) \(26\) \(16\) \(12\)
              该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取\(2\)组，用剩下的\(4\)组数据求线性回归方程，再用被选取的\(2\)组数据进行检验\(.\)若选取的是用\(1\)月与\(6\)月的两组数据检验．
              \((1)\)请根据\(2\)至\(5\)月份的数据，求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(y=bx+a\)；
              \((2)\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)人，则认线性回归方程是理想的，请判断\((1)\)所求出的线性回归方程是否理想的？
              \((\)参考公式：线性回归方程\( \hat y= \hat bx+ \hat a\)其中\( \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x_{i}})^{2}}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{}{xy}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overset{}{x}^{2}})\)
              难度：难
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            • 6．

              一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器的运转速度而变化，下表为抽样试验的结果：

              转速\(x(\)转\(/\)秒\()\)

              \(16\)

              \(14\)

              \(12\)

              \(8\)

              每小时生产有缺点的零件数\(y(\)件\()\)

              \(11\)

              \(9\)

              \(8\)

              \(5\)

              \((1)\)画出散点图；

              \((2)\)如果\(y\)对\(x\)有线性关系，求回归直线方程；

              \((3)\)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为\(10\)个，那么机器的运转速度应控制约在什么范围内\(?\)

              附：\(b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}-n{{\overline{x}}^{2}}}}\)，\(a=\overline{y}-b\overline{x}\)

              难度：难
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            • 7．

              \((1)\) 用秦九韶算法计算多项式\(f(x){=}5x^{5}{+}4x^{4}{+}3x^{3}{+}2x^{2}{+}x{+}1\)当\(x{=}4\)的值时，乘法运算的次数为______ ．

              \((2)\)已知\(x\)，\(y\)取值如表：

              \(x\)

              \(0\)

              \(1\)

              \(3\)

              \(5\)

              \(6\)

              \(y\)

              \(1\)

              \(m\)

              \(3m\)

              \(5{.}6\)

              \(7{.}4\)

              画散点图分析可知：\(y\)与\(x\)线性相关，且求得回归方程为\(\overset{{∧}}{y}{=}x{+}1\)，则\(m\)的值为______ ．

              \((3)\) 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为\(a\)，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为\(b\)，且\(a\)、\(b{∈}\{ 0{,}1,2,{…},9\}{.}\)若\({|}a{-}b{|} = 1\)，则称甲乙“心有灵犀”\({.}\)现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．

              \((4)\) 在数列\(\{ a_{n}\}\)中，\(a_{1}{=}1\)，\(n{\geqslant }2\)时，\(a_{n}{=}a_{n{-}1}{+}n\)，若不等式\(\dfrac{\lambda}{n}{ > }\dfrac{n{+}1}{a_{n}{+}1}\)对任意\(n{∈}N^{{*}}\)恒成立，则实数\(\lambda\)的取值范围是________．

              难度：难
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            • 8．

              某房产中介公司\(2017\)年\(9\)月\(1\)日正式开业，现对其每个月的二手房成交量进

              行统计，\(y\)表示开业第\(x\)个月的二手房成交量，得到统计表格如下：

              \((1)\)统计中常用相关系数\(r\)来衡量两个变量之间线性关系的强弱\(.\)统计学认为，对于变量\(x\)，\(y\)，如果\(|r|\in \left[ 0.75,1\left. {} \right] \right.\)那么相关性很强；如果\(|r|∈[o.3,o.75]\)，那么相关性一般；如果\(|r|\leqslant 0.25\)，那么相关性较弱\(.\)通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合\(y\)与\(x\)的关系，计算\((\)\({{x}_{i}},{{y}_{1}}\)\()(i=1\)，\(2\)，\(…\)，\(8)\)的相关系数\(r\)，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系\((\)计算结果精确到\(0.01)\)．

                 \((2)\)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\(\overset{\wedge }{{y}}\,=\overset{\wedge }{{bx}}\,+\overset{\wedge }{{a}}\,\)\((\)计算结果精确到\(0.01)\)，并预测该房产中介公司\(2018\)年\(6\)月份的二手房成交量\((\)计算结果四舍五入取整数\()\)．


              参考数据：\(\sum\limits_{i=1}^{8}{x}_{i}{y}_{i}=850, \sum\limits_{i=1}^{8}{{x}_{i}}^{2}=204, \sum\limits_{i=1}^{8}{{y}_{i}}^{2}=3776, \sqrt{21}≈4.58, \sqrt{31}≈5.57 \)

              参考公式：\(\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{xy}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}},\hat {a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{x},r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{xy}}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{x}^{2}}_{i}-n{ \bar{x}}^{2}} \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{y}^{2}}_{i}-n{ \bar{y}}^{2}}} \)

              难度：难
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            • 9．

              下图是我国\(2008\)年至\(2014\)年生活垃圾无害化处理量\((\)单位：亿吨\()\)的折线图．


              注：年份代码\(1–7\)分别对应年份\(2008–2014\)．

              \((\)Ⅰ\()\)由折线图看出，可用线性回归模型拟合\(y\)与\(t\)的关系，请用相关系数加以说明；

              \((\)Ⅱ\()\)建立\(y\)关于\(t\)的回归方程\((\)系数精确到\(0.01)\)，预测\(2016\)年我国生活垃圾无害化处理量．

              附注：

              参考数据：\(\sum\limits_{i=1}^{7}{{{y}_{i}}}=9.32\)，\(\sum\limits_{i=1}^{7}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}}=40.17\)，\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}=0.55\)，\( \sqrt{7}≈2.646\)．

              参考公式：\(r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \bar{t})(y- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}}({t}_{1}- \overset{¯}{t}{)}^{2} \sum\nolimits_{i=1}^{n}(y1- \overset{¯}{y}{)}^{2}} \)

              回归方程\( \overset{¯}{y}= \overset{¯}{a}+ \overset{¯}{b}t \)中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

              \( \overset{¯}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \overset{¯}{t})({y}_{1}- \overset{¯}{y})}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \overset{¯}{t}{)}^{2}} \)

              难度：难
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            • 10．

              随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长\({.}\)设某地区城乡居民人民币储蓄存款\((\)年底余额\()\)如下表：

              年份

              \(2010\)

              \(2011\)

              \(2012\)

              \(2013\)

              \(2014\)

              时间代号\(t\)

              \(1\)

              \(2\)

              \(3\)

              \(4\)

              \(5\)

              储蓄存款\(y(\)千亿元\()\)

              \(5\)

              \(6\)

              \(7\)

              \(8\)

              \(10\)

              \((\)Ⅰ\()\)求\(y\)关于\(t\)的回归方程．
              \((\)Ⅱ\()\)用所求回归方程预测该地区\(2015\)年的人民币储蓄存款．
              附：回归方程中
              \(\begin{cases} b{=}\dfrac{\sum_{i{=}1}^{n}(t_{i}{-}\overset{{.}}{t})(y_{i}{-}\overset{{.}}{y})}{\sum_{i{=}1}^{n}(t_{i}{-}\overset{{.}}{t})^{2}}{=}\dfrac{\sum_{i{=}1}^{n}t_{i}y_{i}{-}n\overset{{.}}{t}\overset{{.}}{y}}{\sum_{i{=}1}^{n}t_{i}^{2}{-}n{\overset{}{t}}^{2}} \\ a{=}\overset{{.}}{y}{-}b\overset{{.}}{t} \end{cases}\)
              难度：难
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