\((1)\)已知直线\(m\)过点\((2,4)\)且垂直于两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)，求直线\(m\)的方程．

\((2)\)若直线\(l\)过点\((2,4)\)且被两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)所截得的线段的中点在直线\(x+2y-3=0\)上，求直线\(l\)的方程。

\((1)\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c.\)若\(A=\dfrac{\pi }{3}\)，\(\cos B=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)，\(b=2\)，则\(a=\)________．

\((2)\)如图所示，已知矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(BC=a\)，若\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，在\(BC\)边上取点\(E\)，使\(PE⊥DE\)，则满足条件的\(E\)点有两个时，\(a\)的取值范围是________．

\((3)\)过点\((6,8)\)的直线与坐标轴正半轴围成三角形面积的最小值为________．

\((4)\)若实数\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，且\(a+b+c=1\)，则\(a+c\)的取值范围是________．

已知圆\(C\)的圆心为\(C(2,4)\)且与直线\(3x-4y=0\)相切，直线\(l\)过原点且    与圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(P\)为\(AB\)的中点．

\((1)\)求圆\(C\)的方程；

\((2)\)若\(\Delta ABC\)为直角三角形，求直线\(l\)的方程；

\((3)\)过点\((0,-1)\)是否存在定直线\({l}{{{'}}}\)，使得直线\({l}{{{'}}}\)交直线\(l\)于点\(Q\)，且满足\(\left| OP \right|\cdot \left| OQ \right|=4\)．若存在，求出直线\({l}{{{'}}}\)的方程；若不存在，请说明理由

根据所给条件求直线的方程：

\((1)\)直线过点\((-4,0)\)，倾斜角的正弦值为\(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)；

\((2)\)直线过点\((5,10)\)，到原点的距离为\(5\)．

在\(\triangle ABC\)中，已知\(A(5,1)\)，\(AB\)边上的中线\(CM\)所在直线方程为\(2x-y-5=0\)，\(AC\)边上的高线\(BH\)所在直线方程为\(x-2y-5=0\)，

求：\(⑴\) 顶点\(C\)的坐标； \(⑵BC\)边所在直线方程．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\(C_{1}\)：\((x+3)^{2}+(y-1)^{2}=4\)和圆\(C_{2}\)：\((x-4)^{2}+(y-5)^{2}=4\)．

\((1)\)若直线\(l\)过点\(A(4,0)\)，且被圆\(C_{1}\)截得的弦长为\(2 \sqrt{3} \)，求直线\(l\)的方程；

\((2)\)设\(P\)为平面上的点，满足：存在过点\(P\)的无穷多对互相垂直的直线\(l_{1}\)和\(l_{2}\)，它们分别与圆\(C_{1}\)和圆\(C_{2}\)相交，且直线\(l_{1}\)被圆\(C_{1}\)截得的弦长与直线\(l_{2}\)被圆\(C_{2}\)截得的弦长相等，试求所有满足条件的点\(P\)的坐标．