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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，右顶点为\(A(2,0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\((1,0)\)的直线\(l\)交椭圆于\(B\)，\(D\)两点，设直线\(AB\)斜率为\(k_{1}\)，直线\(AD\)斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}k_{2}\)为定值．
              难度：难
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {2}\)，左右顶点分别为\(A\)，\(B\)，点\(M\)是椭圆上异于\(A\)，\(B\)的任意一点，记直线\(MA\)，\(MB\)的斜率分别为\(k_{MA}⋅k_{MB}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程，并证明：\(k_{MA}⋅k_{MB}\)是定值；
              \((2)\)设点\(N\)是椭圆\(C\)上另一个异于\(M\)，\(A\)，\(B\)的点，且满足直线\(NB\)的斜率等于\(2k_{MA}\)，试探究：直线\(MN\)是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．
              难度：难
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            • 3．

              已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左，右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，上顶点为\(A\)，\(\Delta A{{F}_{1}}{{F}_{2}}\)是斜边长为\(2\sqrt{2}\)的等腰直角三角形．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；

              \((2)\)若直线\(l:y=x+m\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(P,Q\)．

              \(①\) 当\(m=1\)时，求线段\(PQ\)的长度；

              \(②\) 是否存在\(m\)，使得\({{S}_{\Delta OPQ}}=\dfrac{4}{3}\)？若存在，求出\(m\)的值；若不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 4．

              已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的\(3\)个顶点，直线\(l\)：\(y=-x+3\)与椭圆\(E\)有且只有一个公共点\(T\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程及点\(T\)的坐标；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(O\)是坐标原点，直线\(l{{'}}\)平行于\(OT\)，与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且与直线\(l\)交于点\(P.\)证明：存在常数\(λ\)，使得\(|PT|^{2}=λ|PA|·|PB|\)，并求\(λ\)的值．

              难度：难
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            • 5．
              椭圆\(C{：}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }b{ > }0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(M\)在椭圆上，\({\triangle }MF_{1}F_{2}\)的周长为\(2\sqrt{5}{+}4\)，面积的最大值为\(2\)．

              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \(({II})\)直线\(y{=}{kx}(k{ > }0)\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)，连接\(AF_{2}\)，\(BF_{2}\)并延长交椭圆\(C\)于\(D\)，\(E\)，连接\({DE}{.}\)探索\(AB\)与\(DE\)的斜率之比是否为定值并说明理由．
              难度：难
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            • 6．

              已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左右两焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)是椭圆上一点，且在\(x\)轴上方，\(PF_{2}⊥F_{1}F_{2}\)，\(PF_{2}=λPF_{1}\)，\(λ∈[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}].\)

              \((1)\)求椭圆的离心率\(e\)的取值范围；

              \((2)\)当\(e\)取最大值时，过\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)的圆\(Q\)的截\(y\)轴的线段长为\(6\)，求椭圆的方程；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，过椭圆右准线\(1\)上任一点\(A\)引圆\(Q\)的两条切线，切点分别为\(M\)，\(N.\)求证：直线\(MN\)必过定点．

              难度：难
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            • 7．

              已知抛物线\(C:{y}^{2}=4x \)，点\(M(m,0)\)在\(x\)轴的正半轴上，过\(M\)点的直线\(l\)与抛物线 \(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点．

              \((I)\)若\(m=1\)，且直线\(l\)的斜率为\(1\)，求以\(AB\)为直径的圆的方程；

              \((II)\)是否存在定点\(M\)，使得不论直线\(l:x=ky+m\)绕点\(M\)如何转动，\( \dfrac{1}{{\left|AM\right|}^{2}}+ \dfrac{1}{{\left|BM\right|}^{2}} \)恒为定值？

              难度：难
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            • 8．

              已知椭圆\(\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)过点\(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3} \right)\)，离心率为\(\dfrac{1}{2}\)．

              \((1)\)求椭圆的标准方程；

              \((2)\)过椭圆的上顶点作直线\(l \)交抛物线\({{x}^{2}}=2y\)于\(A,B\)两点，\(O\)为原点．

              \(①\)求证：\(OA\bot OB\)；

              \(②\)设\(OA\)、\(OB\)分别与椭圆相交于\(C\)、\(D\)两点，过原点\(O\)作直线\(CD\)的垂线\(OH\)，垂足为\(H\)，证明：\(\left| OH \right|\)为定值

              难度：难
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            • 9． 已知椭圆\(C\)与双曲线\({y}^{2}-{x}^{2}=1 \)有共同焦点，且离心率为\( \dfrac{ \sqrt{6}}{3} \)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(A\)为椭圆\(C\)的下顶点，\(M\)、\(N\)为椭圆上异于\(A\)的不同两点，且直线\(AM\)与\(AN\)的斜率之积为\(-3\)，试问\(M\)、\(N\)所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
              难度：难
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            • 10．

              已知椭圆\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) \)的离心率为\( \dfrac{ \sqrt{6}}{3} \)，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为\( \dfrac{5 \sqrt{2}}{3} \)．

              \(⑴\) 求椭圆\(C\)的方程；

              \(⑵\) 已知动直线\(y=k(x+1)\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，点\(M(- \dfrac{7}{3},0) \)，求证：\( \overset{⇀}{MA}· \overset{⇀}{MB} \)为定值．

              难度：难
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