已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

如图所示，已知\(A\)、\(B\)、\(C\)是长轴长为\(4\)的椭圆\(E\)上的三点，点\(A\)是长轴的一个端点，\(BC\)过椭圆中心\(O\)，且\( \overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=0 \)，\(|BC|=2|AC|\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)在椭圆\(E\)上是否存点\(Q\)，使得\(|QB{{|}^{2}}-|QA{{|}^{2}}=2\)？若存在，有几个\((\)不必求出\(Q\)点的坐标\()\)，若不存在，请说明理由．

\((3)\)过椭圆\(E\)上异于其顶点的任一点\(P\)，作\(\odot O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{4}{3}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N\)，若直线\(MN\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(m\)、\(n\)，证明：\(\dfrac{1}{3{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\)为定值．

已知抛物线\(C:{y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)与直线\(x- \sqrt{2}y+4=0 \)相切．

\((1)\)求该抛物线的方程；

\((2)\)在\(x\)轴的正半轴上，是否存在某个确定的点\(M\)，过该点的动直线\(l\)与抛物线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，使得\( \dfrac{1}{{\left|AM\right|}^{2}}+ \dfrac{1}{{\left|BM\right|}^{2}} \)为定值\(.\)如果存在，求出点\(M\)的坐标；如果不存在，请说明理由

已知点\({{F}_{1}}\left( -\sqrt{2},0 \right)\)，圆\({{F}_{2}}:{{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16\)，点\(M\)是圆上一动点，\(M{{F}_{1}}\)的垂直平分线与线段\(M{{F}_{2}}\)交于点\(N\)．

\((1)\)求点\(N\)的轨迹方程；

\((2)\)设点\(N\)的轨迹为曲线\(E\)，过点\(P\left( 0,1 \right)\)且斜率不为\(0\)的直线\(l\)与\(E\)交于\(A,B\)两点，点\(B\)关于\(y\)轴的对称点为\({B}{{{'}}}\)，证明直线\(A{B}{{{'}}}\)过定点，并求\(\Delta PA{B}{{{'}}}\)面积的最大值．

\((2)\)若\(A\)，\(B\)是曲线\(C\)上分别位于点\(Q\)两边的任意两点，过\(A\)，\(B\)分别作曲线\(C\)的切线交于点\(P\)，过点\(Q\)作曲线\(C\)的切线分别交直线\(PA\)，\(PB\)于\(D\)，\(E\)两点\(.\)证明：\(\triangle QAB\)与\(\triangle PDE\)的面积之比为定值．