已知圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点，若曲线上相异两点、满足直线，的斜率之积为．

\((\)Ⅰ\()\)求的方程；

\((\)Ⅱ\()\)证明直线恒过定点，并求定点的坐标；

\((1)\)若抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)的准线经过椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1\)的一个焦点，则该抛物线的准线方程为___________．

\((2)\)一动圆\(P\)过定点\(M(-4,0)\)，且与已知圆\(N\)：\((x-4)^{2}+y^{2}=16\)相切，则动圆圆心\(P\)的轨迹方程是__________

\((3)\)抛物线\({{{y}}^{2}}{=x}\)上的点到直线\(x-2y+4=0\)的距离最小的点的坐标是________．

\((4)\)曲线\(y=2{{x}^{2}}\)上两点\(A({x}_{1},{y}_{1}),B({x}_{2},{y}_{2}) \)关于直线\(y=x+m\)对称，\({{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-\dfrac{1}{2}\)，则\(m\)的值为__________．

已知点\(A\)、\(B\)的坐标分别是\((0,-1)\)，\((0,1) .\)直线\(AM,BM\)相交于点\(M\)，且它们的斜率之积为\(-3.\)，则动点\(M\)的轨迹方程为        ．

在圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)上任取一点\(P\)，过点\(P\)作\(x\)轴的垂线段，\(D\)为垂足，点\(M\)在线段\(PD\)上，且\(\left| DP \right|=\sqrt{2}\left| DM \right|\)，点\(P\)在圆上运动．

\((1)\)求点\(M\)的轨迹方程；

\((2)\)过定点\(C(-1,0)\)的直线与点\(M\)的轨迹交于\(A,B\)两点，在\(x\)轴上是否存在\(N\) ，使\( \overrightarrow{NA}· \overrightarrow{NB} \) 为常数，若存在，求出点\(N\)的坐标；若不存在，请说明理由．

已知圆\({{F}_{1}}:{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\)，圆\({{F}_{2}}:{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)，动圆\(ABC\)与圆\({{F}_{1}}\)内切，与圆\({{F}_{2}}\)外切．\(O\)为坐标原点．

\((\)Ⅰ\()\)求圆心\(ABC\)的轨迹\(PBQ\)的方程．

\((\)Ⅱ\()\)直线\(l:y=kx-2\)与曲线\(PBQ\)交于\(A,B\)两点，求\(\Delta OAB\)面积的最大值，以及取得最大值时直线\(l\)的方程．

已知定点\(F(1,0)\)，定直线\(l\)：\(x=4\)，动点\(P\)到点\(F\)的距离与到直线\(1\)的距离之比等于\( \dfrac{1}{2} \)．

\((1)\)求动点\(P\)的轨迹\(E\)的方程；

\((2)\)设轨迹\(E\)与\(x\)轴负半轴交于点\(A\)，过点\(F\)作不与\(x\)轴重合的直线交轨迹\(E\)于两点\(B\)、\(C\)，直线\(AB\)、\(AC\)分别交直线\(1\)于点\(M\)、\(N.\)试问：在\(x\)轴上是否存在定点\(Q\)，使得\( \overset{⇀}{QM}· \overset{⇀}{QN}=0 \)？若存在，求出定点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

\((1)\)若数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}={{n}^{2}}+n+1\)，则\({{a}_{n}}=\) ________________．

\((2)\)若椭圆\( \dfrac{x^{2}}{4}+ \dfrac{y^{2}}{k}=1\)的离心率\(e\)\(= \dfrac{2}{3}\)，则实数\(k\)的取值是______________________．

\((3)\)某观测站在城\(A\)南偏西\(20^{\circ}\)方向的\(C\)处，由城\(A\)出发的一条公路，走向是南偏东\(40^{\circ}\)，在\(C\)处测得公路距\(C\)处\(31\)千米的\(B\)处有一人正沿公路向城\(A\)走去，走了\(20\)千米后到达\(D\)处，此时\(C\)、\(D\)间的距离为\(21\)千米，问这人还要走千米可到达城\(A .\)

\((4)\)过点\(P(2,4)\)作两条互相垂直的直线分别交\(x\)轴、\(y\)轴于点\(A\)、\(B\)，则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程为____________________．