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          共50条信息

            • 1．

              点\(M( \sqrt {2},1)\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上，且点\(M\)到椭圆两焦点的距离之和为\(2 \sqrt {5}\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知动直线\(y=k(x+1)\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(P(- \dfrac {7}{3},0)\)，求证：\( \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\)为定值．
              难度：难
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            • 2．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=l\) \((a > b > 0)\)的焦距为\(2\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，椭圆的右顶点为\(A\)．
              \((1)\)求该椭圆的方程：
              \((2)\)过点\(D( \sqrt {2},- \sqrt {2})\)作直线\(PQ\)交椭圆于两个不同点\(P\)，\(Q\)，求证：直线\(AP\)，\(AQ\)的
              斜率之和为定值．
              难度：难
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            • 3．
              已知点\(M\)，\(N\)分别是椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点，\(F\)为其右焦点，\(|MF|\)与\(|FN|\)的等比中项是\( \sqrt {3}\)，椭圆的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设不过原点\(O\)的直线\(l\)与该轨迹交于\(A\)，\(B\)两点，若直线\(OA\)，\(AB\)，\(OB\)的斜率依次成等比数列，求\(\triangle OAB\)面积的取值范围．
              难度：难
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            • 4．
              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，两准线之间的距离为\(8.\)点\(P\)在椭圆\(E\)上，且位于第一象限，过点\(F_{1}\)作直线\(PF_{1}\)的垂线\(l_{1}\)，过点\(F_{2}\)作直线\(PF_{2}\)的垂线\(l_{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(E\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的交点\(Q\)在椭圆\(E\)上，求点\(P\)的坐标．
              难度：难
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            • 5．

              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过抛物线\(M\)：\(x^{2}=4y\)的焦点\(F\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C\)的左、右焦点，且\( \overrightarrow{F_{1}F}\cdot \overrightarrow{F_{1}F_{2}}=6\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)与抛物线\(M\)相切，且与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle OAB\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\neq 0)\)与椭圆交于\(C\)、\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由．
              难度：难
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            • 7．
              已知直线\(x+y=m\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，且\(∠POQ=120^{\circ}(\)其中\(O\)为原点\()\)，那么\(m\)的值为 ______ ．
              难度：难
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            • 8．
              已知直线\(l： \sqrt {3}x-y+1=0\)，方程\(x^{2}+y^{2}-2mx-2y+m+3=0\)表示圆．
              \((\)Ⅰ\()\)求实数\(m\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(m=-2\)时，试判断直线\(l\)与该圆的位置关系，若相交，求出相应弦长．
              难度：难
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            • 9．
              直线\(ax+by+c=0\)与圆\(C\)：\(x^{2}-2x+y^{2}+4y=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(| \overrightarrow{AB}|= \sqrt {15}\)，则\( \overrightarrow{CA}⋅ \overrightarrow{CB}=\)______．
              难度：难
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            • 10．
              直线\(y=kx+3\)被圆\((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4\)截得的弦长为\(2 \sqrt {3}\)，则直线的倾斜角为 ______ ．
              难度：难
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