知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，给定两点$A(1,0)$，$B(0,-2)$，点$C$满足$ \overrightarrow{OC}=(m \overrightarrow{OA}+n \overrightarrow{OB})$，其中$m$，$n∈R$且$m-2n=1$．
$(1)$求点$C$的轨迹方程；
$(2)$设点$C$的轨迹与双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0$且$a\neq b)$交于$M$、$N$两点，且以$MN$为直径的圆过原点，求证：$ \dfrac {1}{a^{2}}- \dfrac {1}{b^{2}}$为定值；
$(3)$在$(2)$的条件下，若双曲线的离心率不大于$ \sqrt {3}$，求双曲线实轴长的取值范围．

难度：难

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2．
已知双曲线$C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\left(a > 0,b > 0\right) $的右焦点为$F$，过$F$向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为$M$，与另一条渐近线于点$N.$若$2 \overrightarrow{MF}= \overrightarrow{FN} $，则双曲线的离心率为___________________．

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3．
已知函数$f(x)=\dfrac{{e}^{x}}{x} +a(x-\ln x).(e$为自然对数的底数$)$
$($Ⅰ$)$当$a > 0$时，试求 $f(x)$的单调区间；
$($Ⅱ$)$若函数$f(x)$在$x∈(\dfrac{1}{2} ,2)$上有三个不同的极值点，求实数$a$的取值范围．
已知双曲线$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 $ $(a > 0,b > 0)$的右焦点为$F(c,0)$．
$(1)$若双曲线的一条渐近线方程为$y=x$且$c=2$，求双曲线的方程；

$(2)$以原点$O$为圆心，$c$为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为$A$，过$A$作圆的切线，斜率为$-$$\sqrt{3} $，求双曲线的离心率．

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4．

已知双曲线$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)$的离心率为$\sqrt{2}$，过左焦点${{F}_{1}}\left( -c,0 \right)$作圆${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}$的切线，切点为$E$，延长${{F}_{1}}E$交抛物线${{y}^{2}}=4cx$于点$P$，则线段$PE$的长为：

A．$a$

B．$2a$

C．$\left( 1+\sqrt{3} \right)a$

D．$3a$

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5．
已知双曲线$C$：$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)$经过点$(\sqrt{6},\sqrt{3})$，一个焦点的坐标为$(-\sqrt{6},0)$．

$(1)$求双曲线的方程；

$(2)$直线$y=kx+2$与双曲线右支交于不同的两点$A$，$B$，求$k$的取值范围．

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6．
已知双曲线$ \dfrac{y^{2}}{a^{2}}- \dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1($$a$$ > 0$，$b$$ > 0)$的一条渐近线方程为$2$$x$$+$$y$$=0$，且顶点到渐近线的距离为$ \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$．

$(1)$求此双曲线的方程；

$(2)$设$P$为双曲线上一点，$A$，$B$两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若$ \overset{→}{AP}= \overset{→}{PB} $，求$\triangle $$AOB$的面积．

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7．
已知双曲线$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0.b > 0)$的离心率为$ \sqrt {3}$，虚轴端点与焦点的距离为$ \sqrt {5}$．
$(1)$求双曲线$C$的方程；
$(2)$已知直线$x-y+m=0$与双曲线$C$交于不同的两点$A$，$B$，且线段$AB$的中点在圆$x^{2}+y^{2}=5$上，求$m$的值．

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8．设双曲线$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a,b > 0)$的实轴长为$4 \sqrt {3}$，焦点到渐近线的距离为$ \sqrt {3}$．
$(1)$求此双曲线的方程；
$(2)$已知直线$y= \dfrac { \sqrt {3}}{3}x-2$与双曲线的右支交于$A$，$B$两点，且在双曲线的右支上存在点$C$，使得$ \overrightarrow{OM}+ \overrightarrow{OB}=m \overrightarrow{OC}$，求$m$的值及点$C$的坐标．

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9．
$(1)$已知椭圆$G$的中心在坐标原点，长轴在$x$轴上，离心率为$ \dfrac{ \sqrt{3}}{2} $ ，且$G$上一点到$G$的两个焦点的距离之和为$12$，则椭圆$G$的标准方程为________$.$

$(2)$圆$ρ=2\sin θ$的圆心到直线$2ρ\cos θ+ρ\sin θ+1=0$的距离是________

$(3)$若直线$y=kx-1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=4$只有一个公共点，则$k$的取值为________$.$

$(4)$设抛物线$y^{2}=4x$的焦点为$F$，准线为$l.$已知点$C$在$l$上，以$C$为圆心的圆与$y$轴的正半轴相切于点$A.$若$∠FAC=120^{\circ}$，则圆的方程为________$.$

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10．若P为双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B24%7D%3D1$ 右支上一个动点，F为双曲线的左焦点，M为PF的中点，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为（　　）

A．[0，+∞]

B．[2，+∞]

C．[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，+∞]

D．[1+∞]

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