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          共50条信息

            • 1．

              已知双曲线\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}- \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(2\)，焦点到渐近线的距离等于\( \sqrt{3}\)，过右焦点\(F\)\({\,\!}_{2}\)的直线\(l\)交双曲线于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)\({\,\!}_{1}\)为左焦点．

              \((1)\)求双曲线的方程；

              \((2)\)若\(\triangle \)\(F\)\({\,\!}_{1}\)\(AB\)的面积等于\(6 \sqrt{2}\)，求直线\(l\)的方程．

              难度：难
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            • 2．

              已知\(P\)是焦距为\(4\sqrt{2}\)的双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)上一点，过\(P\)的直线与双曲线\(C\)的两条渐近线分别交于点\({{P}_{1}}\)，\({{P}_{2}}\)，且\(3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{{P}_{1}}}+2\overrightarrow{O{{P}_{2}}}\)，\(O\)为坐标原点．

              \((\)Ⅰ\()\)设\({{P}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)，\({{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)，证明：\({{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{y}_{1}}{{y}_{2}}=9\)；

              \((\)Ⅱ\()\)试求当\(\Delta O{{P}_{1}}{{P}_{2}}\)面积取得最大值时双曲线的方程．

              难度：难
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            • 3．

              如图，已知椭圆的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)为顶点的三角形的周长为\(4(\sqrt{2}+1)\)，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设\(P\)为该双曲线上异于顶点的任一点，直线\(P{{F}_{1}}\)和\(P{{F}_{2}}\)与椭圆的交点分别为\(A,B\)和\(C,D\)，其中\(A,C\)在\(x\)轴的同一侧．


              \((1)\)求椭圆和双曲线的标准方程；

              \((2)\)是否存在题设中的点\(P\)，使得\(\left| \overrightarrow{AB} \right|+\left| \overrightarrow{CD} \right|=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}\)？若存在， 求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．

              难度：难
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            • 4．

              已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0) \)的离心率\(e= \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \)，直线\(l \)过\(A(a,0)\)，\(B(0,-b)\)两点，原点\(O\)到直线\(l\)的距离是\( \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)．

              \((1)\)求双曲线的方程；

              \((2)\)过点\(B\)作直线\(m\)交双曲线于\(M\)，\(N\)两点，\( \overrightarrow{OM}· \overrightarrow{ON}=-23 \)求直线\(m\)的方程．

              难度：难
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            • 5．

              已知直线\(l\)\({\,\!}_{1}\)，\(l\)\({\,\!}_{2}\)是双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)的两条渐近线，点\(P\)是双曲线\(C\)上一点，若点\(P\)到渐近线\(l\)\({\,\!}_{1}\)距离的取值范围是\([\dfrac{1}{2},1]\)，则点\(P\)到渐近线\(l\)\({\,\!}_{2}\)距离的取值范围是\((\)   \()\)

              A．\([\dfrac{4}{5},\dfrac{8}{5}]\)    
              B．\([\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3}]\)       
              C．\([\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{5}]\)      
              D．\([\dfrac{4}{5},\dfrac{8}{3} ]\)
              难度：难
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            • 6． 设双曲线\( \dfrac {x^{2}}{9}- \dfrac {y^{2}}{16}=1\)的右顶点为\(A\)，右焦点为\(F.\)过点\(F\)平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点\(B\)，则\(\triangle AFB\)的面积为____________．
              难度：难
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            • 7．

              设\(A\)、\(B\)分别为双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右顶点，双曲线的实轴长为\(4\sqrt[{}]{3}\)，焦点到渐近线的距离为\(\sqrt[{}]{3}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求双曲线的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)已知直线\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x-2\)与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，且在双曲线的右支上存在点\(D\)，使\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=t\ \overrightarrow{OD}\)，求\(t\)的值及点\(D\)的坐标．

              难度：难
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            • 8．

              已知直线\(y{=}kx{-}1\)和双曲线\(x^{2}{-}y^{2}{=}1\)的右支交于不同两点，则\(k\)的取值范围是________

              难度：难
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            • 9．

              已知\(F\)为双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的右焦点，过原点的直线\(l\)与双曲线交于\(M,N\)两点，且\(\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0,\Delta MNF\)的面积为\(ab\)，则该双曲线的离心率为       ．

              难度：难
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            • 10．

              点\(P\)\((8,1)\)平分双曲线\(x\)\({\,\!}^{2}-4\)\(y\)\({\,\!}^{2}=4\)的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．

              难度：难
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