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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且\(|F_{1}F_{2}|=2\)，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(\triangle AF_{2}B\)的面积为\( \dfrac {12 \sqrt {2}}{7}\)，求以\(F_{2}\)为圆心且与直线\(l\)相切的圆的方程．
              难度：难
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            • 2．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\neq 0)\)与椭圆交于\(C\)、\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由．
              难度：难
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            • 3．
              已知椭圆\(C：\;\; \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\;\;(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，且经过点\(( \dfrac {3}{2}, \dfrac {1}{2})\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\(P(0,2)\)的直线交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle AOB(O\)为原点\()\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 4．
              已知中心在原点的椭圆\(C\)的右焦点为\(F(1,0)\)，离心率等于\( \dfrac {1}{2}\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)过椭圆右焦点且倾斜角为\(45^{\circ}\)的直线与椭圆交于\(AB\)两点，求\(AB\)的长．
              难度：难
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            • 5．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{t}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)的焦点在\(x\)轴上，\(A\)是\(E\)的左顶点，斜率为\(k(k > 0)\)的直线交\(E\)于\(A\)，\(M\)两点，点\(N\)在\(E\)上，\(MA⊥NA\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(t=4\)，\(|AM|=|AN|\)时，求\(\triangle AMN\)的面积；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(2|AM|=|AN|\)时，求\(k\)的取值范围．
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左，右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，上顶点为\(A\)，\(\triangle AF_{1}F_{2}\)是斜边长为\(2 \sqrt {2}\)的等腰直角三角形．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)：\(y=x+m\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(P\)，\(Q\)．
              \((ⅰ)\)当\(m=1\)时，求线段\(PQ\)的长度；
              \((ⅱ)\)是否存在\(m\)，使得\(S_{\triangle OPQ}= \dfrac {4}{3}\)？若存在，求出\(m\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，右顶点为\(A(2,0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\((1,0)\)的直线\(l\)交椭圆于\(B\)，\(D\)两点，设直线\(AB\)斜率为\(k_{1}\)，直线\(AD\)斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}k_{2}\)为定值．
              难度：难
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            • 8．
              设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F_{1}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.F_{1}\)为圆\(M\)：\(x^{2}+y^{2}+2x-15=0\)的圆心．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知过椭圆右焦点\(F_{2}\)的直线\(l\)交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，过\(F_{2}\)且与\(l\)垂直的直线\(l_{1}\)与圆\(M\)交于\(C\)，\(D\)两点，求四边形\(ABCD\)面积的取值范围．
              难度：难
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\)过点\(A(2,0)\)，\(B(0,1)\)两点．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程及离心率；
              \((2)\)设\(P\)为第三象限内一点且在椭圆\(C\)上，直线\(PA\)与\(y\)轴交于点\(M\)，直线\(PB\)与\(x\)轴交于点\(N\)，求证：四边形\(ABNM\)的面积为定值．
              难度：难
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            • 10．
              已知椭圆\(E\)的方程为\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\) \((a > b > 0\) \()\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，圆\(C\)的方程为\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}= \dfrac {20}{3}\)，若椭圆\(E\)与圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且线段\(AB\)恰好为圆\(C\)的直径．
              \((1)\)求直线\(AB\)的方程；
              \((2)\)求椭圆\(E\) 的标准方程．
              难度：难
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