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          共50条信息

            • 1．

              已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

              \((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

              \((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

              难度：难
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            • 2．

              已知动点\(P(x,y)\)满足方程\(3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12=0\)，则\(P(x,y)\)到直线\(x+y-6=0\)的距离的取值范围_________________________\(.\) 

              难度：难
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            • 3．

              如图所示，已知\(A\)、\(B\)、\(C\)是长轴长为\(4\)的椭圆\(E\)上的三点，点\(A\)是长轴的一个端点，\(BC\)过椭圆中心\(O\)，且\( \overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=0 \)，\(|BC|=2|AC|\)．


              \((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

              \((2)\)在椭圆\(E\)上是否存点\(Q\)，使得\(|QB{{|}^{2}}-|QA{{|}^{2}}=2\)？若存在，有几个\((\)不必求出\(Q\)点的坐标\()\)，若不存在，请说明理由．

              \((3)\)过椭圆\(E\)上异于其顶点的任一点\(P\)，作\(\odot O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{4}{3}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N\)，若直线\(MN\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(m\)、\(n\)，证明：\(\dfrac{1}{3{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\)为定值．

              难度：难
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            • 4．
              \((\)本小题满分\(12\)分\()\)

              已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端 点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，过椭圆 的右焦点的动直线 与椭圆 相交于 、 两点．

              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆 的方程\(;\)

              \((\)Ⅱ\()\)若线段 中点的横坐标为 ，求直线 的方程\(;\)

              难度：难
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            • 5．

              \((\)选做题\()\)给定椭圆 ，称圆心在坐标原点\(O\)，半径为 的圆是椭圆\(C\)的“伴随圆”\(.\)若椭圆\(C\)的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 距离为 ．

              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)及其“伴随圆”的方程；

              \((2)\)过椭圆\(C\)“伴随圆”上一动点\(Q\)作直线 ，使得 与椭圆\(C\)都只有一个公共点，试判断直线 的斜率之积是否为定值，并说明理由．

              难度：难
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            • 6．

              已知定点\({{F}_{2}}(\sqrt{3},0)\)，\(P\)为圆\({{F}_{1}}\)：\({{(x+\sqrt{3})}^{2}}+{{y}^{2}}=24\)上任意一点，线段\(P{{F}_{2}}\)上一点\(N\)满足\( \overset{⇀}{P{F}_{2}}=2 \overset{⇀}{N{F}_{2}} \)，直线\(P{{F}_{1}}\)上一点\(Q\)，满足\( \overset{⇀}{QN}· \overset{⇀}{P{F}_{2}}=0 \)．

              \((\)Ⅰ\()\)当\(P\)在圆周上运动时，求点\(Q(x,y)\)的轨迹\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，且以\(AB\)为直径的圆过原点\(O\)，求证：直线\(l\)与\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)不可能相切。
              难度：难
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            • 7．
              已知椭圆 ， 为其左右顶点， 是椭圆上异于 一点，直线 与直线 交于点 ， 的斜率乘积为 ．


              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的离心率；

              \((\)Ⅱ\()\)当点 纵坐标为 时， ，求椭圆的方程；

               \((\)Ⅲ\()\)若 ，过 作直线 的垂线 ，问直线 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

              难度：难
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            • 8．

              ．已知椭圆\(C\)\(: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \)\(=\)\(1(\)\(a > b > \)\(0)\)的离心率为\( \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)，\(A\)\((\)\(a\)，\(0)\)，\(B\)\((0,\)\(b\)\()\)，\(O\)\((0,0)\)，\(\triangle \)\(OAB\)的面积为\(1\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程\(;\)

              \((2)\)设\(P\)是椭圆\(C\)上一点，直线\(PA\)与\(y\)轴交于点\(M\)，直线\(PB\)与\(x\)轴交于点\(N\)，求证：\(|AN|\)\(·\)\(|BM|\)为定值．

              难度：难
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            • 9．

              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\({{C}_{1}}\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\({{F}_{1}}(-1,0)\)，且点\(P(0,1)\)在\({{C}_{1}}\)上\(.\)

              \((1)\)求椭圆\({{C}_{1}}\)的方程\(;\)

              \((2)\)设直线\(l\)同时与椭圆\({{C}_{1}}\)和抛物线\({{C}_{2}}\)：\({{y}^{2}}=4x\)相切，求直线\(l\)的方程．

              难度：难
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            • 10． 中心在原点，焦点在\(x\)轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且\(\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right|=2\sqrt{13}\) ，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为\(4.\)离心率之比为\(3︰7\)．

              \((1)\)求这两曲线方程；

              \((2)\)若\(P\)为这两曲线的一个交点，求\(\cos ∠F_{1}PF_{2}\)的值．

              难度：难
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