知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，F₁，F₂分别是椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，动弦AB平行于x轴，且|F₁A|+|F₁B|=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF₂、NF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂是定值．

难度：难

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2．已知点P（2， $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）上的一点，且椭圆的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，过点A（-α，0）任作两条直线l₁，l₂分别交椭圆于E、F两点，交y轴于M，N两点，E与M两个点不重合，且E，F关于原点对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）以MN为直径的圆是否交x轴于定点Q？若是，求出点Q的坐标；否则，请说明理由．

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3．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点 $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ，且焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点P（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点 $G%280%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．

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4．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．

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5．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的两个焦点为 $F_%7B1%7D%EF%BC%8CF_%7B2%7D%EF%BC%8C%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于 $4%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

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6．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，-1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．

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7．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范围．

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8．
在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的长轴为直径作圆，设为圆上不在坐标轴上的任意一点，为轴上一点，过圆心作直线的垂线交椭圆右准线于点．问：直线能否与圆总相切，如果能，求出点的坐标；如果不能，说明理由．

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9．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．

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10．已知椭圆C的焦点是 $F_%7B1%7D%280%2C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ， $F_%7B2%7D%280%2C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点P在椭圆上且满足|PF₁|+|PF₂|=4．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)设直线l：2x+y+2=0与椭圆C的交点为A，B．
(i)求使△PAB的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的点P的个数；
(ii)设M为椭圆上任一点，O为坐标原点， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%5Cmu%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%28%5Clambda%20%2C%5Cmu%20%5Cin%20R%29$ ，求λ²+μ²的值．

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