已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\left(a > 0,b > 0\right) \)的右焦点为\(F\)，过\(F\)向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为\(M\)，与另一条渐近线于点\(N.\)若\(2 \overrightarrow{MF}= \overrightarrow{FN} \)，则双曲线的离心率为___________________．

已知\({F}_{1},{F}_{2} \)是椭圆与双曲线的公共焦点，\(P\)是它们的一个公共点，且\(\left| P{{F}_{1}} \right| > \left| P{{F}_{2}} \right|\)，椭圆的离心率为\({{e}_{1}}\)，双曲线的离心率为\({{e}_{2}}\)，若\(\left| P{{F}_{2}} \right|=\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right|\)，则\(\dfrac{{{e}_{2}}}{3}+\dfrac{3}{{{e}_{1}}}\)的最小值为\((\) \()\)

已知有相同的两个焦点\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)的椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{m}+{{y}^{2}}=1(m > 1)\)和双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{n}-3{{y}^{2}}=1(n > 0)\)，\(P\)是它们的一个交点，则\(\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=(\)   \()\)

已知\({F}_{1},{F}_{2} \) 分别是双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{16}- \dfrac{{y}^{2}}{20}=1 \) 的左、右焦点，点在\(P\) 该双曲线上，\(|PF1|=9\)，则\(|PF2|=\)  \((\)  \()\)

已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)经过点\((\sqrt{6},\sqrt{3})\)，一个焦点的坐标为\((-\sqrt{6},0)\)．

\((1)\)求双曲线的方程；

\((2)\)直线\(y=kx+2\)与双曲线右支交于不同的两点\(A\)，\(B\)，求\(k\)的取值范围．

已知双曲线\( \dfrac{y^{2}}{a^{2}}- \dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > 0\)，\(b\)\( > 0)\)的一条渐近线方程为\(2\)\(x\)\(+\)\(y\)\(=0\)，且顶点到渐近线的距离为\( \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)．

\((1)\)求此双曲线的方程；

\((2)\)设\(P\)为双曲线上一点，\(A\)，\(B\)两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若\( \overset{→}{AP}= \overset{→}{PB} \)，求\(\triangle \)\(AOB\)的面积．

．平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(C\)\({\,\!}_{1}: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \)\(=\)\(1(\)\(a > \)\(0\)，\(b > \)\(0)\)的渐近线与抛物线\(C\)\({\,\!}_{2}:\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)\(=\)\(2\)\(py\)\((\)\(p > \)\(0)\)交于点\(O\)，\(A\)，\(B\)．若\(\triangle \)\(OAB\)的垂心为\(C\)\({\,\!}_{2}\)的焦点，则\(C\)\({\,\!}_{1}\)的离心率为________ ．

\((1)\)命题“\(\forall x\in R\)，\({{x}^{2}}+4x+5 > 0\)”的否定是                         ．

\((2).\)已知直线\(l:2x-y-2=0\)与抛物线\(C:{{y}^{2}}=8x\)交于\(A\)，\(B\)两点，则\(\left| AB \right|=\)       ．

\((3).\)已知实数\(a,b,c\in R\)，则“\(a > b\)”是“\(a{{c}^{2}} > b{{c}^{2}}\)”的                 条件．

\((4).\)若椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)的离心率为    ．

\((5).\)已知椭圆\(C\)的方程为\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right),{{F}_{1}},{{F}_{2}}\)为其左、右焦点，\(e\)为离心率，\(P\)为椭圆上一动点，则有如下命题：

  \(①\)当\(0 < e < \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)时，使\(\Delta P{{F}_{1}}{{F}_{2}}\)为直角三角形的点\(P\)有且只有\(4\)个；

  \(②\)当\(e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)时，使\(\Delta P{{F}_{1}}{{F}_{2}}\)为直角三角形的点\(P\)有且只有\(6\)个；

  \(③\)当\(\dfrac{\sqrt{2}}{2} < e < 1\)时，使\(\Delta P{{F}_{1}}{{F}_{2}}\)为直角三角形的点\(P\)有且只有\(8\)个．

  其中真命题的有          \((\)请写出所有真命题的序号\()\)．