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已知经过点\(M(4,1)\)的直线\(l\)交双曲线\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{2}-1\)于\(A\)，\(B\)两点，且\(M\)是\(AB\)的中点，则直线\(l\)的方程为________．
设\(A\)是双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > 0.b > 0\right) \)的右顶点，\(F(c,0)\)是右焦点，若抛物线\({y}^{2}=- \dfrac{4{a}^{2}}{c}x \)的准线\(l\)上存在一点\(P\)，使\(∠APF=30^{\circ}\)，则双曲线的离心率的范围是\((\) \()\)
已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆和双曲线的公共焦点，\(P\)是它们的一个公共点，且\(\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=\dfrac{\pi }{3}\)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为\((\) \()\)
已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 (a > 0,b > 0)\)，过左焦点\(F\)作\(x\)轴的垂线，交双曲线于\(A\)、\(B\)两点，若双曲线的右顶点在以\(AB\)为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是\((\) \()\)
已知两点\(M(1,\dfrac{5}{4}),\ N(-4,-\dfrac{5}{4})\)，给出下列曲线方程：
\(①{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)； \(②\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1\)； \(③\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-{{y}^{2}}=1\)．
在上述曲线上存在点\(P\)满足\(|MP|=|NP|\)的所有曲线方程是 \(.(\)写出序号即可\()\)
如图，\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)分别是双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的左、右焦点，过\({{F}_{1}}(-\sqrt{7},0)\)的直线\(l\)与双曲线分别交于点\(A,B\)，若\(\Delta AB{{F}_{2}}\)为等边三角形，则双曲线的方程为( )
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