已知点\(P\)\((2,2)\)，圆\(C\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}-8\)\(y\)\(=0\)，过点\(P\)的动直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，\(O\)为坐标原点．

\((1)\)求\(M\)的轨迹方程；

\((2)\)当\(|\)\(OP\)\(|=|\)\(OM\)\(|\)时，求\(l\)的方程及\(\triangle \)\(POM\)的面积．

\((2)\)若\(A\)，\(B\)是曲线\(C\)上分别位于点\(Q\)两边的任意两点，过\(A\)，\(B\)分别作曲线\(C\)的切线交于点\(P\)，过点\(Q\)作曲线\(C\)的切线分别交直线\(PA\)，\(PB\)于\(D\)，\(E\)两点\(.\)证明：\(\triangle QAB\)与\(\triangle PDE\)的面积之比为定值．

已知过原点的动直线\(l\)与圆\(C_{1}\)：\(x^{2}{+}y^{2}{-}6x{+}5{=}0\)相交于不同的两点\(A\)，\(B\)．

\((1)\)求圆\(C_{1}\)的圆心坐标；

\((2)\)求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程；

\((3)\)是否存在实数\(k\)，使得直线\(L\)：\(y{=}k{(}x{-}4{)}\)与曲线\(C\)只有一个交点？若存在，求出\(k\)的取值范围；若不存在，说明理由．

已知点\(O\left(0,0\right),M\left(1,0\right) \)，且圆\(C:{\left(x-5\right)}^{2}+{\left(y-4\right)}^{2}={r}^{2}\left(r > 0\right) \)上至少存在一点\(P\)，使得\(\left|PO\right|= \sqrt{2}\left|PM\right| \)，则\(r\)的最小值是______

方程\(x-1= \sqrt{1-(y-1{)}^{2}} \)表示的曲线是\((\)　　\()\)

已知\(M\)\((4,0)\)，\(N\)\((1,0)\)，曲线\(C\)上的任意一点\(P\)满足：\( \overset{→}{MN}· \overset{→}{MP}=6| \overset{→}{PN}| \)．

\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹方程；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(N\)\((1,0)\)的直线与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，交\(y\)轴于\(H\)点，设\( \overset{→}{HA} =\)\(λ\)_{1\( \overset{→}{AN} \)}，\( \overset{→}{HB} =\)\(λ\)_{2\( \overset{→}{BN} \)}，试问\(λ\)\({\,\!}_{1}+\)\(λ\)\({\,\!}_{2}\)是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．

已知圆\(C\)的圆心在直线\(3x+y-1=0\)上，且\(x\)轴，\(y\)轴被圆\(C\)截得的弦长分别为\(2 \sqrt{5} \)，\(4 \sqrt{2} \)，若圆心\(C\)位于第四象限

\((1)\)求圆\(C\)的方程；

\((2)\)设\(x\)轴被圆\(C\)截得的弦\(AB\)的中心为\(N\)，动点\(P\)在圆\(C\)内且\(P\)的坐标满足关系式\((x-1)^{2}-y^{2}= \dfrac{5}{2} \)，求\( \overset{⇀}{PA·} \overset{⇀}{PB} \)的取值范围．