知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%28sinx%EF%BC%8C-cosx%29%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%28%20%5Csqrt%20%7B3%7Dcosx%EF%BC%8Ccosx%29$ ，设函数 $f%28x%29%3D%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ；
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x $%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 求函数f（x）的最值及对应的x的值；-
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x $%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 恒成立，求实数m的取值范围．

难度：难

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2．已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（a，b）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（sinB，sinA）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bp%7D$ =（b-2，a-2）．
（1）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ ∥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，求B；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bp%7D$ ，S_△ABC= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求边长c．

难度：难

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3．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角为 $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ， $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%7C%3D2$ ，| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |=3，记 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D3%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D-2%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2Bk%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$
（I）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，求实数k的值；
（II）当 $k%3D-%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ 时，求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ 的夹角θ．

难度：难

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4．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（cosα，sinα）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（cosβ，sinβ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ =（-1，0）．
（1）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ 的长度的最大值；
（2）设α= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ⊥（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ），求cosβ的值．

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5．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 共线， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（1，-2）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =-10
（Ⅰ）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 的坐标；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ =（6，-7），求| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ |

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6．向量 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba%7D%3D%28sinx%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bb%7D%3D%28%20%5Csqrt%20%7B3%7Dcosx%2Bsinx%EF%BC%8C-1%29$ ，函数 $f%28x%29%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bb%7D$ ，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间 $%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 上的最大值和最小值．

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7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BEF%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ + $%CE%BC%20%5Coverrightarrow%20%7BAD%7D$ ，求λ+μ的值．
（2）若AB= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BC=2，当 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAE%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ =1时，求DF的长．

难度：难

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8． .已知： $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ 和 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ 是两个单位向量，其夹角是60°，设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ 、b=2 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ -3 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ ．
（1）求| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ |，| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |．
（2）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角．

难度：难

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9．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（3，0）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（-5，5）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ =（2，k）
（1）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ∥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ，求k的值；
（3）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ⊥（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ），求k的值．

难度：难

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10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1，2），B（-3，4）．
（Ⅰ）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ 的坐标及| $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ |；
（Ⅱ）求向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的夹角的余弦值．

难度：难

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