知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图所示的几何体中，$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$为三棱柱，且$AA_{1}⊥$平面$ABC$，四边形$ABCD$为平行四边形，$AD=2CD$，$∠ADC=60^{\circ}$．
$($Ⅰ$)$若$AA_{1}=AC$，求证：$AC_{1}⊥$平面$A_{1}B_{1}CD$；
$($Ⅱ$)$若$CD=2$，$AA_{1}=λAC$，二面角$C-A_{1}D-C_{1}$的余弦值为$ \dfrac { \sqrt {2}}{4}$，求三棱锥$C_{1}-A_{1}CD$的体积．

难度：难

解析收藏试题篮
2．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PD⊥$底面$ABCD$，$AB/\!/CD$，$AB=2$，$CD=3$，$M$为$PC$上一点，且$PM=2MC$．
$(1)$求证：$BM/\!/$平面$PAD$；
$(2)$若$AD=2$，$PD=3$，$∠BAD= \dfrac {π}{3}$，求三棱锥$P-ADM$的体积．

难度：难

解析收藏试题篮
3．
三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$M$，$N$，$O$分别为棱$AC_{1}$，$AB$，$A_{1}C_{1}$的中点．
$(1)$求证：直线$MN/\!/$平面$AOB_{1}$；
$(2)$若三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为$10 \sqrt {3}$，求三棱锥$A-MON$的体积．

难度：难

解析收藏试题篮
4．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$∠BCD=135^{\circ}$，侧面$PAB⊥$底面$ABCD$，$∠BAP=90^{\circ}$，$AB=AC=PA=2$，$E$，$F$分别为$BC$，$AD$的中点，点$M$在线段$PD$上．
$($Ⅰ$)$求证：$EF⊥$平面$PAC$；
$($Ⅱ$)$如果直线$ME$与平面$PBC$所成的角和直线$ME$与平面$ABCD$所成的角相等，求$ \dfrac {PM}{PD}$的值．

难度：难

解析收藏试题篮
5．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PA⊥$平面$ABCD$，底面$ABCD$是菱形，$PA=AB=2$，$E$为$PA$的中点，$∠BAD=60^{\circ}$．
$($Ⅰ$)$求证：$PC/\!/$平面$EBD$；
$($Ⅱ$)$求三棱锥$P-EDC$的体积．

难度：难

解析收藏试题篮
6．如图，已知平面ADC∥平面A₁B₁C₁，B为线段AD的中点，△ABC≈△A₁B₁C₁，四边形ABB₁A₁为正方形，平面AA₁C₁C丄平面ADB₁A₁，A₁C₁=A₁A，∠C₁A₁A= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，M为棱A₁C₁的中点．
（I）若N为线段DC₁上的点，且直线MN∥平面ADB₁A₁，试确定点N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD与平面CC₁D所成的锐二面角的余弦值．

难度：难

解析收藏试题篮
7．
如图，在三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$CA=CB=AA_{1}$，$∠BAA_{1}=∠BAC=60^{\circ}$，点$O$是线段$AB$的中点．
$($Ⅰ$)$证明：$BC_{1}/\!/$平面$OA_{1}C$；
$($Ⅱ$)$若$AB=2$，$A_{1}C= \sqrt {6}$，求二面角$A-BC-A_{1}$的余弦值．

难度：难

解析收藏试题篮
8．
如图，在三棱台$DEF-ABC$中，$AB=2DE$，$G$，$H$分别为$AC$，$BC$的中点．
$($Ⅰ$)$求证：$BD/\!/$平面$FGH$；
$($Ⅱ$)$若$CF⊥$平面$ABC$，$AB⊥BC$，$CF=DE$，$∠BAC=45^{\circ}$，求平面$FGH$与平面$ACFD$所成的角$($锐角$)$的大小．

难度：难

解析收藏试题篮
9．
如图，四棱锥$S-ABCD$的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的$ \sqrt {2}$倍，$P$为侧棱$SD$上的点，且$SD⊥PC$．
$(1)$求二面角$P-AC-D$的大小；
$(2)$在侧棱$SC$上是否存在一点$E$，使得$BE/\!/$平面$PAC$？若存在，求$SE$：$EC$的值；若不存在，试说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．

难度：难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷