知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，点$P$，$Q$，$R$分别是线段$B_{1}B$，$AB$和$A_{1}C$上的动点，观察直线$CP$与$D_{1}Q$，$CP$与$D_{1}R$给出下列结论：
$①$对于任意给定的点$Q$，存在点$P$，使得$CP⊥D_{1}Q$；
$②$对于任意给定的点$P$，存在点$Q$，使得$D_{1}Q⊥CP$；
$③$对于任意给定的点$R$，存在点$P$，使得$CP⊥D_{1}R$；
$④$对于任意给定的点$P$，存在点$R$，使得$D_{1}R⊥CP$．
其中正确的结论是$($　　$)$

A．$①③$

B．$②③$

C．$①④$

D．$②④$

难度：难

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2． $l$${\,\!}_{1}$， $l$${\,\!}_{2}$， $l$${\,\!}_{3}$是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是$($　　$)$

A．如果$l$${\,\!}_{1}⊥$ $l$${\,\!}_{2}$， $l$${\,\!}_{2}⊥$ $l$${\,\!}_{3}$，那么$l$${\,\!}_{1}/\!/$ $l$${\,\!}_{3}$

B．如果 $l$${\,\!}_{1}⊥$ $l$${\,\!}_{2}$， $l$${\,\!}_{2}/\!/$ $l$${\,\!}_{3}$，那么 $l$${\,\!}_{1}⊥$ $l$${\,\!}_{3}$

C．如果$l$${\,\!}_{1}/\!/$ $l$${\,\!}_{2}/\!/$ $l$${\,\!}_{3}$，那么 $l$${\,\!}_{1}$， $l$${\,\!}_{2}$， $l$${\,\!}_{3}$共面

D．如果$l$${\,\!}_{1}$， $l$${\,\!}_{2}$， $l$${\,\!}_{3}$共点，那么 $l$${\,\!}_{1}$， $l$${\,\!}_{2}$， $l$${\,\!}_{3}$共面

难度：难

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3．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，∠B₁A₁A=∠C₁A₁A=60°，AA₁=AC=4，AB=1．
（Ⅰ）求证：A₁B₁⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

难度：难

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4．如图，三棱柱ABF-DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD，AD=AF，AF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥EC；
（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积．

难度：难

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5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面AA₁C₁C，BC=CA=AA₁=2，∠CAA₁=60°．
（1）求证：AC₁⊥A₁B；
（2）求直线A₁B与平面BAC₁所成角的正弦值．

难度：难

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6．
如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱C₁D₁、C₁C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC₁是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB₁是异面直线；
④直线AM与DD₁是异面直线．
其中正确的结论为 ______ （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．

难度：难

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7．如图，四棱锥M-ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．
（1）求证：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求三棱锥M-EBC的体积．

难度：难

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8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，
AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ AD，E是线段AB中点．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）求三棱锥P-CDE的表面积．

难度：难

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