知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知$α$、$β$表示两个不同的平面，$m$为平面$α$内的一条直线，则“$α⊥β$”是“$m⊥β$”的____________条件．

难度：难

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2．给出下列三个类比结论：
$①$已知实数$m,n,t$满足$(m\cdot n)\cdot t=m\cdot \left( n\cdot t \right)$，类比推理出，向量$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n},\overrightarrow{t}$满足$(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n})\cdot \overrightarrow{t}=\overrightarrow{m}\cdot \left( \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{t} \right)$
$②$已知直线$a,b,c$，若$a/\!/b,b/\!/c$，则$a/\!/c$，类比推理出，已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$，若$\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}/\!/\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{c}$；
$③$同一平面内，$a,b,c$是三条互不相同的直线，若$a/\!/b,b/\!/c$，则$a/\!/c$，类比推理出，空间中，$\alpha ,\beta ,\gamma $是三个互不相同的平面，若$\alpha /\!/\beta ,\beta /\!/\gamma $，则$\alpha /\!/\gamma $．
其中正确结论的个数是______ ．

难度：难

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3．

$\alpha{,}\beta$是两个平面，$m{,}n$是两条直线，有下列四个命题：${①}$如果$m{⊥}n{,}m{⊥}\alpha{,}n{/\!/}\beta$，那么$\alpha{⊥}\beta$．${②}$如果$m{⊥}\alpha{,}n{/\!/}\alpha$，那么$m{⊥}n$．${③}$如果$\alpha{/\!/}\beta{,}m{⊂}\alpha$，那么$m{/\!/}\beta$．${④}$如果$m{/\!/}n{,}\alpha{/\!/}\beta$，那么$m$与$\alpha$所成的角和$n$与$\beta$所成的角相等$.$其中正确的命题是______$($填序号$)$

难度：难

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4．已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，下列说法：
①对角线AC'被平面A'BD和平面B'CD'三等分；
②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ；
③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为1：2：3；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ；
则正确的是 ______ ．（写出所有正确的序号）

难度：难

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5．
设$m$、$n$是两条不同的直线，$α$、$β$是两个不同的平面，给出下列四个命题：

$①$若$m⊥α$，$n/\!/α$，则$m⊥n$；$②$若$m/\!/n$，$n/\!/α$，则$m/\!/α$；$③$若$m/\!/n$，$n/\!/β$，$m/\!/α$，则$α⊥β$；$④$若$m∩n=A$，$m/\!/α$，$m/\!/β$，$n/\!/α$，$n/\!/β$，则$α/\!/β.$其中真命题的个数是___________；

难度：难

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6．
$(1)$已知圆$C:{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=16$及点$A(1,0)$，$B$为圆$C$上任意一点，则线段$AB$的垂直平分线与线段$BC$的交点$M$的轨迹方程为_______________

$(2)$小明、小华两人约定在$8:00—10:00$会面去书店看书，约定先到者应等候另一个人$30$分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率_____$($结果化为最简分数$)$。

$(3)$已知$P$为抛物线$y^{2}=4x$上一个动点，$P$到其准线的距离为$d$，$Q$为圆$x^{2}+(y-4)^{2}=1$上一个动点，$d+|PQ|$的最小值是 __________

$(4)$在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中$($如图$)$，已知点$P$在直线$BC_{1}$上运动，则下列四个命题，其中真命题的编号是______$ ($写出所有真命题的编号$)$

$①$直线$AB$与$B_{1}P$垂直；
$②$三棱锥$A-D_{1}PC$的体积不变；

$③$直线$AP$与平面$ACD_{1}$所成的角的大小不变；

$④$二面角$P-AD_{1}-C$的大小不变。

难度：难

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7．

已知$l$，$m$是两条不同的直线，$\alpha ,\beta $是两个不同的平面，给出下列命题：

$①$ $m⊂α,l⊂α=A $点$A∉m $，则$l$ 与$m$是异面直线；

$②$若$m\subset \alpha $，$l\subset \beta $且$l⊥m$，则$\alpha ⊥\beta $；

$③$若 $l/\!/α,m/\!/β,α/\!/β $，则$l/\!/m$；

$④$如果直线$m\bot $平面$\alpha $，$l/\!/$平面$\alpha $，则$l\bot m$；

$⑤$若$m$，$n$是异面直线，$m\subset \alpha ,m/\!/\beta ,n\subset \beta ,n/\!/\alpha ,$则$\alpha /\!/\beta $．

其中正确命题的序号是_______________$.($把你认为正确命题的序号都填上$)$

难度：难

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8．
已知直线$l\bot $平面$\alpha $，直线$m\subset $平面$\beta $，给出下列命题：

$①$若$\alpha /\!/\beta $，则$l\bot m$； $②$若$\alpha \bot \beta $，则$l/\!/m$；

$③$若$l/\!/m$，则$\alpha \bot \beta $； $④$若$l\bot m$，则$\alpha /\!/\beta .$

其中正确命题的序号是_______．

难度：难

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9．
给出下列五个命题：$(1)$经过定点${P}_{0}({x}_{0},{y}_{0}) $的直线都可以用方程$y-{y}_{0}=k(x-{x}_{0}) $表示
$(2)$过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
$(3)$如果平面外一条直线$a$与平面$α$内一条直线$b$平行，那么$a/\!/α$；
$(4)$经过任意两个不同的点${P}_{1}({x}_{1},{y}_{1}),{P}_{2}({x}_{2},{y}_{2}) $的直线都可以用方程$(y-{y}_{1})({x}_{2}-{x}_{1})=(x-{x}_{1})({y}_{2}-{y}_{1}) $表示
$(5)$一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补其中真命题的序号为________________

难度：难

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10．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是 ______ ．

难度：难

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