已知函数\(f(x)=\dfrac{m\ln x+n}{{{e}^{x}}}\) \((m\)、\(n\)为常数，\(e= 2.718 28…\)是自然对数的底数\()\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程是\(y=\dfrac{2}{e}\)．

\((1)\)求\(m\)、\(n\)的值；

\((2)\)求\(f(x)\)的最大值；

\((3)\)设\(g(x)={f}{{{'}}}(x)\cdot \dfrac{{{e}^{x}}\ln (x+1)}{2}\) \((\)其中\({f}{{{'}}}(x)\)为\(f(x)\)的导函数\()\)，证明：对任意\(x > 0\)，都有\(g(x) < 1+{{e}^{-2}}.\)  \((\)注：\({{\left[ \ln (x+1) \right]}^{\prime }}=\dfrac{1}{x+1})\)

利用数学归纳法证明：\( \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+…+ \dfrac{1}{3n} > \dfrac{5}{6}(\)\(n\)\(\geqslant 2\)，\(n\)\(∈N_{+}).\)

设数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\({a}_{n+1}={a}_{n}+ \dfrac{1}{{a}_{n}} (n∈N*)\)．

\((\)Ⅰ\()\)证明：\(a_{n} < a_{n+1}(n∈N*)\)；

\((\)Ⅱ\()\)证明：\( \sqrt{2n-1}\leqslant {a}_{n}\leqslant \sqrt{3n-2} (n∈N*)\)；

\((\)Ⅲ\()\)求正整数\(m\)，使\(|a_{2017}-m|\)最小．

己知数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1} > a_{n}\)，\((a_{n}+a_{n+1}-1)^{2}=4a_{n}a_{n+1}(n∈N^{*}).\)

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)记\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{{{a}_{n}}}}\)，\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)，估算\(T_{2017}\)的整数部分．

\((\)参考数据：\(1.41 < \sqrt{2} < 1.42\)，\(44.92 < \sqrt{2018} < 45)\)

已知函数\(f(x)={{e}^{x}}-a(x+1)\)在\(x=\ln 2\)处的切线的斜率为\(1.(e\)为无理数，\(e=2.71828… )\)

\((1)\)求\(a\)的值及\(f(x)\)的最小值；

\((2)\)当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)\geqslant m{{x}^{2}}\)恒成立，求\(m\)的取值范围；

\((3)\)求证：\(\sum\limits_{i=2}^{n}{\dfrac{\ln i}{{{i}^{4}}}} < \dfrac{1}{2e}(i,n\in {{N}_{+}}).(\)参考数据：\(\ln 2\approx 0.6931)\)