知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f_n（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B1%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B2%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7Bn%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

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2．用数学归纳法证明“1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D$ ＜n（n∈N^*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ______ ．

难度：难

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