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          共50条信息

            • 1． 已知m，n为正整数．
              （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
              （Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；
              （Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
              难度：难
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            • 2．

              用数学归纳法证明“对一切\(n∈N_{+}\)，都有\(2^{n} > n^{2}-2\)”这一命题，证明过程中应该验证的归纳奠基为\((\)    \()\)

              A．\(n=1\)时命题成立
              B．\(n=1\)，\(2\)时命题都成立
              C．\(n=3\)时命题成立
              D．\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时命题都成立
              难度：难
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            • 3．

              已知函数\(f(x)=ax- \dfrac{b}{x}-2\ln x\)，\(f(1)=0\)．

              \((1)\)若函数\(f(x)\)在其定义域内为单调函数，求实数\(a\)的取值范围？

              \((2)\)若函数\(f(x)\)的图像在\(x=1\)处的切线的斜率为\(0\)，且\(a_{n+1}=f′\left( \left. \dfrac{1}{a_{n}+1} \right. \right)-na_{n}+1\)，若\(a_{1}\geqslant 3\)，求证：\(a_{n}\geqslant n+2\)．

              难度：难
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            • 4．

              用数学归纳法证明：\(1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})\)。

              难度：难
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            • 5．

              观察下列等式

              \(1 > \dfrac{1}{2} \)

              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 \)
              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} \)
              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 \)
              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} \)

              \((1)\)从上述不等式归纳出一个与正整数\(n\)有关的一般不等式；

              \((2)\)证明你归纳得到的不等式．

              难度：难
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