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          共50条信息

            • 1．
              已知正项数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(4S_{n}= a_{ n }^{ 2 }+2a_{n}-3\)，其中\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{ a_{ n }^{ 2 }-1}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 2．
              在首项都为\(2\)的数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)中，\(a_{2}=b_{2}=4\)，\(2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}\)，\(b_{n+1}-b_{n} < 2^{n}+ \dfrac {1}{2}\)，\(b_{n+2}-b_{n} > 3×2^{n}-1\)，且\(b_{n}∈Z\)，则数列\(\{ \dfrac {nb_{n}}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和为 ______ ．
              难度：难
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            • 3．
              已知数列\(\{\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}\)，\(b_{n+1}=(n-λ)( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*}),b_{1}=-λ\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}+1\}\)是等比数列；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，求实数\(λ\)的取值范围．
              难度：难
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2n^{2}+n\)，\(n∈N\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n}=4\log _{2}b_{n}+3\)，\(n∈N\)．
              \((1)\)求\(a_{n}\)，\(b_{n}\)；           
              \((2)\)求数列\(\{a_{n}b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 5．

              设各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}\)满足\(S\rlap{_{n}}{^{2}}-(n^{2}+n-3)S_{n}-3(n^{2}+n)=0\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)求\(a_{1}\)的值；

              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((3)\)证明：对一切正整数\(n\)，有\( \dfrac{1}{a_{1}(a_{1}+1)}+ \dfrac{1}{a_{2}(a_{2}+1)}+…+ \dfrac{1}{a_{n}(a_{n}+1)} < \dfrac{1}{3}\)．

              难度：难
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            • 6．

              各项都为正数的数列\(\{a_{n}\}\)，其前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=(\sqrt{{S}_{n-1}}+ \sqrt{{a}_{1}} )^{2}(n\geqslant 2)\)，若\(b_{n}=\dfrac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+ \dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}} \)，且数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(T_{n}\)，则\(T_{n}=\)_____________．

              难度：难
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            • 7． 已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，对任意\(n∈N*\)，点\(\left( n,{{S}_{n}} \right)\)都在函数\(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-x\)的图象上．
              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{S}_{n}}}{n+p}\)，且数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列，求非零常数\(p\)的值；
              \((3)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{2}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，\({{T}_{n}}\)是数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，求使得\({{T}_{n}} < \dfrac{m}{20}\)对所有\(n∈N*\)都成立的最小正整数\(m\)．
              难度：难
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            • 8． 已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\(3{{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-3n\)，则\({{a}_{2018}}=\)

              A．\({{2}^{2018}}-1\)
              B．\({{3}^{2018}}-6\)
              C．\({{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2018}}-\dfrac{7}{2}\)
              D．\({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2018}}-\dfrac{10}{3}\) 
              难度：难
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            • 9．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\(S_{n}\)，满足\(\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}={{S}_{n}}+2+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

              \((2)\)设\({T}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+ \dfrac{1}{{a}_{3}}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \) ，是否存在正整数\(k\)，使得当\(n\geqslant 3\)时，\({{T}_{n}}\in \left( \dfrac{k}{10},\dfrac{k+1}{10} \right)\) 如果存在，求出\(k\)；如果不存在，请说明理由\(.\) 

              难度：难
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            • 10．

              函数\(f\left( x \right)=\dfrac{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}{x+1}\left( x > 0 \right)\)的图象上有一点列\({{P}_{n}}\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)(n{∈}N_{{+}})\)，点\({{P}_{n}}\)在\(x\)轴上的射影是\({{Q}_{n}}\left( {{x}_{n}},0 \right)\)，且\({{x}_{n}}=3{{x}_{n-1}}+2\)\((\)\(n{\geqslant }2\)且\(n{∈}N\)\()\)，\({{x}_{1}}=2\)．

              \((1)\)求出数列\(\left\{ {{x}_{n}} \right\}\)的通项公式；

              \((2)\)对任意的正整数\(n\)，当\(m{∈}{[}{-}1{,}1{]}\)时，不等式\(3{{t}^{2}}-6mt+\dfrac{1}{3} > {{y}_{n}}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；

              \((3)\)设四边形\({{P}_{n}}{{Q}_{n}}{{Q}_{n+1}}{{P}_{n+1}}\)的面积是\({{S}_{n}}\)，求证：\(\dfrac{1}{S_{1}}{+}\dfrac{1}{{2S}_{2}}{+}{…}{+}\dfrac{1}{{nS}_{n}}{ < }\dfrac{5}{4}\)．

              难度：难
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