知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在三棱锥$P-ABC$中，$PB⊥AC$，$PB=9$，$AC=6$，$G$为$\triangle PAC$的重心，过点$G$作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线$PB$和$AC$，则截面的面积为 ______ ．

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2．已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，下列说法：
①对角线AC'被平面A'BD和平面B'CD'三等分；
②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ；
③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为1：2：3；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ；
则正确的是 ______ ．（写出所有正确的序号）

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3．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则 ______ （写出所有正确结论编号）
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

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4．
动点$P$从正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的顶点$A$出发，沿着棱运动到顶点$C_{1}$后再到$A$，若运动中恰好经过$6$条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为 ______ $($用数字作答$)$．

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5．
若四面体$ABCD$的三组对棱分别相等，即$AB=CD$，$AC=BD$，$AD=BC$，则 ______ $($写出所有正确结论编号$)$
$①$四面体$ABCD$每组对棱相互垂直
$②$四面体$ABCD$每个面的面积相等
$③$从四面体$ABCD$每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于$90^{\circ}$而小于$180^{\circ}$
$④$连接四面体$ABCD$每组对棱中点的线段互垂直平分
$⑤$从四面体$ABCD$每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

难度：难

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6．
如图，正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$2$，点$P$在正方形$ABCD$的边界及其内部运动$.$平面区域$W$由所有满足$A_{1}P\geqslant \sqrt {5}$的点$P$组成，则$W$的面积是 ______ ．

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7．

在三棱锥$P-ABC $中，$PB=6,AC=3 $，$G$为$∆PAC $的重心，过点$G$作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线$PB$和$AC$，则截面的周长为_______．

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8．在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，∠BAC= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，AC=4，AA₁=4，M为AA₁中点，点P为BM中点，Q在线段CA₁上，且A₁Q=3QC，则PQ的长度为 ______ ．

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9．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos²α+cos²β=1．
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ= ______ ．

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10．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．以上结论其中正确的是 ______ （写出所有正确结论的编号）．

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