如图，四棱锥\(P\)\(-\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(E\)为\(PD\)的中点．

\((1)\)证明：\(PB\)\(/\!/\)平面\(AEC\)；

\((2)\)设\(AP\)\(=1\)，\(AD\)\(=\) ，三棱锥\(P\)\(­\)\(ABD\)的体积\(V\)\(=\)，求\(A\)到平面\(PBC\)的距离．

把平面图形\(M\)上的所有点在一个平面上的射影构成的图形\(M′\)叫做图形\(M\)在这个平面上的射影\(.\)如图，在长方体\(ABCD-EFGH\)中，\(AB=5\)，\(AD=4\)，\(AE=3\)，则\(\triangle EBD\)在平面\(EBC\)上的射影的面积是

如图已知\(O\)是边长为\(2 \sqrt{2} \)的正方形\(ABCD\)的中心，点\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，沿对角线\(AC\)把正方形\(ABCD\)折成二面角\(D-AC-B\)．

\((1)\)证明：四面体\(ABCD\)的外接球的体积为定值，并求出定值；

\((2)\)若二面角\(D-AC-B\)为直二面角，求二面角\(E-OF-A\)的余弦值．

如图，已知正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)棱长为\(4\)，点\(H\)在棱\(A{{A}_{1}}\)上，且\(H{{A}_{1}}=1\)，在侧面\(BC{{C}_{1}}{{B}_{1}}\)内作边长为\(1\)的正方形\(EFG{{C}_{1}}\)，\(P\)是侧面\(BC{{C}_{1}}{{B}_{1}}\)内一动点，且点\(P\)到平面\(CD{{D}_{1}}{{C}_{1}}\)距离等于线段\(PF\)的长，则当点\(P\)运动时，\(|HP{{|}^{2}}\)的最小值是(    )

\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(|\overrightarrow{b}|=1\)，且\(\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}(λ > 0)\)，则\(λ=\)________．

\((2)\)已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(\sqrt{3}\)为\(3^{a}\)以与\(3^{b}\)的等比中项，则\(\dfrac{ab}{4a+9b}\)的最大值为________．

\((3)\)已知四棱锥\(P-ABCD\)的底面为矩形，平面\(PBC⊥\)平面\(ABCL\)，\(PE\)垂直线段\(BC\)于点\(E\)，\(EC=2\)，\(AB=6\)，\(BC=8\)，\(PE=4\)，则四棱锥\(P-ABCD\)外接球的表面积是________．

\((4)\)已知平面直角坐标系中有两定点\(F_{1}(0,-2)\)，\(F_{2}(0,2)\)，平面中有一动点\(M\)，该点使得\(\triangle MF_{1}F_{2}\)满足条件\(\sin \angle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\sqrt{3}\sin \angle M{{F}_{2}}{{F}_{1}}\)，则\(\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\cdot \overrightarrow{M{{F}_{2}}}\)的取值范围是________．