知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）是奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=
x
1-x
．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

难度：中等

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2．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“Z函数”，给出函数：①y=x³+1；②y=(
1
2
)x；③y=
ln|x|，x≠0
0，x=0
；④y=
x2+4x，x≥0
-x2+x，x＜0
，以上函数为“Z函数”序号为．

难度：中等

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3．函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数h(x)=
f(x)g(x)，x∈D且x∈E
f(x)，x∈D且x∉E
g(x)，x∈E且x∉D

（Ⅰ）若函数f(x)=
1
x-1
，g(x)=x2，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．

难度：中等

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4．已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x₁=x₂时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

难度：较难

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