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          共50条信息

            • 1．
              设\(y=f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的减函数，且满足\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，\(f( \dfrac {1}{3})=1\)．
              \((1)\)求\(f(1)\)，\(f( \dfrac {1}{9})\)，\(f(9)\)的值；
              \((2)\)若\(f(x)-f(2-x) < 2\)，求\(x\)的取值范围．
              难度：易
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            • 2．
              设集合\(M\)为下述条件的函数\(f(x)\)的集合：\(①\)定义域为\(R\)；\(②\)对任意实数\(x_{1}\)、\(x_{2}(x_{1}\neq x_{2})\)，都有\(f( \dfrac {1}{3}x_{1}+ \dfrac {2}{3}x_{2}) < \dfrac {1}{3}f(x_{1})+ \dfrac {2}{3}f(x_{2})\)．
              \((1)\)判断函数\(f(x)=x^{2}\)是否为\(M\)中元素，并说明理由；
              \((2)\)若函数\(f(x)\)是奇函数，证明：\(f(x)∉M\)；
              \((3)\)设\(f(x)\)和\(g(x)\)都是\(M\)中的元素，求证：\(F(x)= \begin{cases} f(x) & f(x)\geqslant g(x) \\ g(x) & f(x) < g(x)\end{cases}\)也是\(M\)中的元素，并举例说明，\(G(x)= \begin{cases} f(x) & f(x)\leqslant (x) \\ g(x) & f(x) > g(x)\end{cases}\)不一定是\(M\)中的元素．
              难度：较易
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            • 3．
              已知定理：“实数\(m\)，\(n\)为常数，若函数\(h(x)\)满足\(h(m+x)+h(m-x)=2n\)，则函数\(y=h(x)\)的图象关于点\((m,n)\)成中心对称”．
              \((\)Ⅰ\()\)已知函数\(f(x)= \dfrac {x^{2}}{x-1}\)的图象关于点\((1,b)\)成中心对称，求实数\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)已知函数\(g(x)\)满足\(g(2+x)+g(-x)=4\)，当\(x∈[0,2]\)时，都有\(g(x)\leqslant 3\)成立，且当\(x∈[0,1]\)时，\(g(x)=2^{k(x-1)+1}\)，求实数\(k\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 4．
              设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(R\)，并且满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，\(f( \dfrac {1}{3})=1\)，当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)．
              \((1)\)求\(f(0)\)的值；
              \((2)\)判断函数的奇偶性；
              \((3)\)如果\(f(x)+f(2+x) < 2\)，求\(x\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 5．
              定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(-x)=0.\)当\(x > 0\)时，\(f(x)=-4^{x}+8×2^{x}+1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的解析式；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(x∈[-3,-1]\)时，求\(f(x)\)的最大值和最小值．
              难度：难
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            • 6．
              若\(f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的增函数，且对一切\(x\)，\(y > 0\)，满足\(f( \dfrac {x}{y})=f(x)-f(y)\)．
              \((1)\)求\(f(1)\)的值；
              \((2)\)若\(f(6)=1\)，解不等式\(f(x+3)-f( \dfrac {1}{3}) < 2\)．
              难度：较易
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            • 7．
              已知函数\(f(x)\)定义在\((-1,1)\)上且满足下列两个条件：
              \(①\)对任意\(x\)，\(y∈(-1,1)\)都有\(f(x)+f(y)=f( \dfrac {x+y}{1+xy})\)
              \(②\)当\(x∈(-1,0)\)时，有\(f(x) > 0\)
              \((1)\)求\(f(0)\)，并证明函数\(f(x)\)在\((-1,1)\)上是奇函数；
              \((2)\)验证函数\(f(x)=\lg \dfrac {1-x}{1+x}\)是否满足这些条件；
              \((3)\)若\(f(- \dfrac {1}{2})=1\)，试求函数\(F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{2}\)的零点．
              难度：较易
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            • 8．
              已知函数\(f(x)\)对一切实数\(x\)，\(y\)均有\(f(x+y)-f(y)=(x+2y-2)x\)成立，且\(f(1)=0\)．
              \((1)\)求函数\(f(x)\)的解析式；
              \((2)\)设\(g(x)= \dfrac {f(x)-2x}{x}\)，若不等式\(g(2^{x})-k⋅2^{x}\leqslant 0(k\)为常数\()\)在\(x∈[-2,2]\)时恒成立，求实数\(k\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 9．
              若函数\(f(x)\)满足：对于\(s\)，\(t∈[0,+∞)\)，都有\(f(s)\geqslant 0\)，\(f(t)\geqslant 0\)，且\(f(s)+f(t)\leqslant f(s+t)\)，则称函数\(f(x)\)为“\(T\)函数”．
              \((\)Ⅰ\()\)试判断函数\(f_{1}(x)=x^{2}\)与\(f_{2}(x)=\lg (x+1)\)是否是“\(T\)函数”，并说明理由；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(f(x)\)为“\(T\)函数”，且存在\(x_{0}∈[0,+∞)\)，使\(f(f(x_{0}))=x_{0}\)，求证：\(f(x_{0})=x_{0}\)；
              \((\)Ⅲ\()\)试写出一个“\(T\)函数”\(f(x)\)，满足\(f(1)=1\)，且使集合\(\{y|y=f(x),0\leqslant x\leqslant 1\}\)中元素的个数最少\(.(\)只需写出结论\()\)
              难度：较易
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            • 10．
              已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且对任意的\(x\)，\(y∈R\)有\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
              当 \(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)，\(f(1)=2\)
              \((\)Ⅰ\()\)求\(f(0)\)，\(f(3)\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)判断\(f(x)\)的单调性并证明；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(f(4^{x}-a)+f(6+2^{x+1}) > 6\)对任意\(x∈R\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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