知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+∞)\)，\(f(2)=1\)，\(f(xy)=f(x)+f(y)\)且当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)．
\((1)\)判断函数\(f(x)\)在其定义域\((0,+∞)\)上的单调性并证明；
\((2)\)解不等式\(f(x)+f(x-2)\leqslant 3\)．

难度：较易

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2．
\((\)理\()\)已知函数\(f(x)\)对任意\(x∈R\)都有\(f(x)+f(1-x)=2\)．
\((1)\)求\(f( \dfrac {1}{2})\)和\(f( \dfrac {1}{n})+f( \dfrac {n-1}{n})(n∈N^{*})\)的值；
\((2)\)数列\(f(x)\)满足\(a_{n}=f(0)+f( \dfrac {1}{n})+f( \dfrac {2}{n})+…+f( \dfrac {n-1}{n})+f(1)\)，\((n∈N^{*})\)求证：数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列；
\((3)b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}\)，\(S_{n}= \dfrac {4n}{2n+1}\)，\(T_{n}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+…+b_{n}^{2}\)，试比较\(T_{n}\)与\(S_{n}\)的大小．

难度：中等

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3．
设函数\(f(x)\)的定义域是\((0,+∞)\)，且对任意的正实数\(x\)，\(y\)都有\(f(xy)=f(x)+f(y)\)恒成立\(.\)已知\(f(2)=1\)，且\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)．
\((1)\)求\(f( \dfrac {1}{2})\)的值；
\((2)\)判断\(y=f(x)\)在\((0,+∞)\)上的单调性，并给出你的证明；
\((3)\)解不等式\(f(x^{2}) > f(8x-6)-1\)．

难度：难

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4．
设函数\(y=f(x)\)是定义域为\(R\)，并且满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，\(f( \dfrac {1}{3})=1\)，且\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)
\((1)\)求\(f(0)\)值
\((2)\)判断函数奇偶性并证明
\((3)\)如果\(f(x)+f(2+x) < 2\)，求\(x\)的取值范围．

难度：较易

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5．
如果函数\(f(x)\)在其定义域内存在实数\(x_{0}\)，使得\(f(x_{0}+1)=f(x_{0})+f(1)\)成立，则称函数\(f(x)\)为“可分拆函数”．
\((1)\)试判断函数\(f(x)= \dfrac {1}{x}\)是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；
\((2)\)证明：函数\(f(x)=2^{x}+x^{2}\)为“可分拆函数”；
\((3)\)设函数\(f(x)=\lg \dfrac {a}{2^{x}+1}\)为“可分拆函数”，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)\)在其定义域\((0,+∞)\)，\(f(2)=1\)，\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，当\(x > 1\)时，\(f(x) > 0\)；
\((1)\)求\(f(8)\)的值；
\((2)\)讨论函数\(f(x)\)在其定义域\((0,+∞)\)上的单调性；
\((3)\)解不等式\(f(x)+f(x-2)\leqslant 3\)．

难度：中等

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7．
设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(R\)，并且满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，\(f( \dfrac {1}{3})=1\)，且当\(x > 0\)时，\(f(x) > 0\)．
\((1)\)求\(f(0)\)的值；
\((2)\)判断函数的奇偶性；
\((3)\)如果\(f(x)+f(2+x) < 2\)，求\(x\)取值范围．

难度：中等

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8．
设函数\(y=f(x)\)是定义在\(R_{+}\)上的函数，并且满足下面三个条件：\((1)\)对任意正数\(x\)、\(y\)，都有\(f(xy)=f(x)+f(y)\)；\((2)\)当\(x > 1\)时，\(f(x) < 0\)；\((3)f(3)=-1\)，
\((1)\)求\(f(1)\)、\(f( \dfrac {1}{9})\)的值；
\((2)\)判断函数的单调性并证明
\((3)\)如果不等式\(f(x)+f(2-x) < 2\)成立，求\(x\)的取值范围．

难度：较易

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9．
设\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且对任意实数\(x\)，恒有\(f(x+2)=-f(x).\)当\(x∈[0,2]\)时，\(f(x)=2x-x^{2}\)．
\((1)\)求证：\(f(x)\)是周期函数；
\((2)\)当\(x∈[2,4]\)时，求\(f(x)\)的解析式；
\((3)\)计算\(f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)\)．

难度：较难

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10．
已知定义域为\(R\)的函数\(f(x)\)满足\(f(f(x)-x^{2}+x)=f(x)-x^{2}+x\)．
\((1)\)若\(f(3)=3\)，求\(f(-3)\)的值；
\((2)\)若有且仅有一个实数\(x_{0}\)满足\(f(x_{0})=x_{0}’\)且函数\(g(x)= \dfrac {1}{4^{x}+m\cdot 2^{x}+4}\)的定义域为\(R\)，
\(①\)求实数\(m\)的取值范围；
\(②\)求\(f(m)\)的取值范围．

难度：较易

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